RLC並列回路のアドミタンス計算【電験三種 理論】
コイルとコンデンサの打ち消し効果を理解しよう！
第33講「RLC並列回路」へようこそ！
第31講でRL並列回路、第32講でRC並列回路を学んだな。コイルのサセプタンスは負（\( B_L < 0 \)）、コンデンサのサセプタンスは正（\( B_C > 0 \)）やった。
今回は、抵抗 \( R \)・コイル \( L \)・コンデンサ \( C \) の3つが並列に接続されたRLC並列回路を学ぶで！この回路では、コイルとコンデンサのサセプタンスが打ち消し合うという面白い現象が起こるんや。
この「打ち消し効果」を理解することで、力率改善や共振回路の基礎が分かるようになる。電験三種でも超重要なポイントやで！
🎯 この講座で学ぶこと
📘 RLC並列回路の構成：3素子が並列に接続
📗 アドミタンスの計算：\( Y = G + j(B_C - |B_L|) \)
📙 サセプタンスの打ち消し：\( B_L \) と \( B_C \) の相殺効果
📕 力率の判定：進み・遅れ・力率1の条件
📒 電流のベクトル図：3つの電流の合成
コイルとコンデンサは「性格が真逆の兄弟」みたいなもんや。コイルは電流を遅らせようとし、コンデンサは電流を進ませようとする。両方を並列に繋ぐと、その効果が打ち消し合って、ちょうど良いバランスになることがある。これが力率改善や共振の原理やねん！
まずはRLC並列回路の構成を確認しよう！
RLC並列回路は、抵抗 \( R \)・コイル \( L \)・コンデンサ \( C \) が並列に接続された回路や。並列接続やから、3つの素子すべてに同じ電圧 \( V \) がかかるのがポイントやで。
電源から流れ出た全電流 \( I \) は、分岐点で3つに分かれる。抵抗を通る \( I_R \)、コイルを通る \( I_L \)、コンデンサを通る \( I_C \) や。
ここで大事なのは、この3つの電流は位相が違うということ。\( I_R \) は電圧と同相、\( I_L \) は90°遅れ、\( I_C \) は90°進み。せやから、単純な足し算じゃなくてベクトル合成が必要になるんや。
📌 RLC並列回路の基本
⚡ 電圧 \( V \) は3素子すべてで共通
⚡ 電流は分流：\( \dot{I} = \dot{I}_R + \dot{I}_L + \dot{I}_C \)
⚡ \( I_R \)：\( V \) と同相
⚡ \( I_L \)：\( V \) より90°遅れ
⚡ \( I_C \)：\( V \) より90°進み
次に、各素子のアドミタンスを復習しよう！
第31講と第32講で学んだ内容を整理するで。並列回路ではアドミタンスを足し算するだけで合成できるのが最大のメリットやったな。
ここで超重要なポイント！コイルとコンデンサのサセプタンスは符号が逆や。
この「逆符号」がRLC並列回路の面白いところや。両方を足し算すると、打ち消し合うんやで！
📌 サセプタンスの符号まとめ
⚡ 抵抗：\( G = \frac{1}{R} > 0 \)（実数、正）
⚡ コイル：\( B_L = -\frac{1}{\omega L} < 0 \)（虚数、負）
⚡ コンデンサ：\( B_C = \omega C > 0 \)（虚数、正）
⚡ \( B_L \) と \( B_C \) は逆符号 → 足すと打ち消し合う！
ほな、RLC並列回路の合成アドミタンスを求めよう！
並列回路やから、各素子のアドミタンスを足し算するだけや。
【合成アドミタンス】
\( Y = Y_R + Y_L + Y_C \)
\( = G + jB_L + jB_C \)
\( = G + j(B_L + B_C) \)
ここで、\( B_L < 0 \)、\( B_C > 0 \) やから、\( B_L + B_C \) は打ち消し合うんや！
【サセプタンスの合成】
\( B = B_L + B_C = -\frac{1}{\omega L} + \omega C = \omega C - \frac{1}{\omega L} \)
この合成サセプタンス \( B \) の符号によって、回路全体の性質が決まるんや！
📌 合成サセプタンスと回路の性質
⚡ \( B = \omega C - \frac{1}{\omega L} \)
⚡ \( B > 0 \) → 容量性（進み力率）
⚡ \( B = 0 \) → 共振（力率 = 1）
⚡ \( B < 0 \) → 誘導性（遅れ力率）
ほな、合成アドミタンスの計算問題や！
\( R = 10 \) Ω、\( X_L = 10 \) Ω、\( X_C = 5 \) Ω が並列に接続されている。合成アドミタンス \( Y \) はどれか？
惜しかったな！各素子のアドミタンスを確認しよう。
【計算】
抵抗：\( Y_R = \frac{1}{R} = \frac{1}{10} = 0.1 \) S
コイル：\( Y_L = -j\frac{1}{X_L} = -j\frac{1}{10} = -j0.1 \) S
コンデンサ：\( Y_C = j\frac{1}{X_C} = j\frac{1}{5} = j0.2 \) S
合成：\( Y = 0.1 + (-j0.1) + j0.2 = 0.1 + j0.1 \) S
コイルの \( -j0.1 \) とコンデンサの \( j0.2 \) を足すと \( j0.1 \) になるな。コンデンサの方が大きいから、全体として容量性（進み）になるんや。
この回路は誘導性？容量性？それとも共振状態？
さすがや！サセプタンスの計算バッチリやな。
ほな、合成インピーダンスまで求めてみよう。
\( Y = 0.1 + j0.1 \) S のときの合成インピーダンスの大きさ \( |Z| \) はいくらか？
次は電流の分流について学ぼう！
RLC並列回路では、電源電圧 \( V \) が3つの素子に共通でかかる。せやから、各素子に流れる電流は次のように求められるんや。
ここで面白いのは、\( I_L \) と \( I_C \) が180°逆位相やということ。つまり、ベクトル図で見ると真逆の方向を向いてるんや。
せやから、\( I_L \) と \( I_C \) を合成すると、大きい方から小さい方を引き算することになる。これが「打ち消し効果」や！
【リアクタンス電流の合成】
\( I_L - I_C \)（\( I_L > I_C \) のとき → 誘導性）
\( I_C - I_L \)（\( I_C > I_L \) のとき → 容量性）
📌 電流の合成（RLC並列）
⚡ \( I_R \)：電圧と同相（横方向）
⚡ \( I_L \) と \( I_C \)：逆方向（打ち消し合う）
⚡ 全電流：\( I = \sqrt{I_R^2 + (I_C - I_L)^2} \)
全電流の計算方法を詳しく見ていこう！
\( I_L \) と \( I_C \) が打ち消し合うから、まずこの2つの差を求める。そして、その差と \( I_R \) をベクトル合成するんや。
【全電流の計算】
① リアクタンス電流の差：\( I_X = |I_C - I_L| \)
② 全電流：\( I = \sqrt{I_R^2 + I_X^2} = \sqrt{I_R^2 + (I_C - I_L)^2} \)
具体例で確認しよう！
【例題】
\( R = 20 \) Ω、\( X_L = 10 \) Ω、\( X_C = 20 \) Ω、\( V = 100 \) V のとき
\( I_R = \frac{V}{R} = \frac{100}{20} = 5 \) A
\( I_L = \frac{V}{X_L} = \frac{100}{10} = 10 \) A
\( I_C = \frac{V}{X_C} = \frac{100}{20} = 5 \) A
\( I_X = |I_C - I_L| = |5 - 10| = 5 \) A
（\( I_L > I_C \) なので誘導性、電流は電圧より遅れる）
\( I = \sqrt{I_R^2 + I_X^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7.07 \) A
もし \( I_L = I_C \) やったら、\( I_X = 0 \) になって、全電流は \( I = I_R \) だけになる。これが並列共振の状態や！このとき力率は1になるで。
📌 全電流の計算まとめ
⚡ \( I = \sqrt{I_R^2 + (I_C - I_L)^2} \)
⚡ \( I_L > I_C \) → 誘導性（遅れ力率）
⚡ \( I_C > I_L \) → 容量性（進み力率）
⚡ \( I_L = I_C \) → 共振（力率 = 1、\( I = I_R \)）
RLC並列回路のベクトル図を描いてみよう！
並列回路やから、電圧 \( V \) を基準（横軸）にして描くで。3つの電流のベクトルを合成して全電流 \( I \) を求めるんや。
この図は \( I_L > I_C \) の場合（誘導性）や。もし \( I_C > I_L \) なら、全電流 \( I \) は上向き（進み方向）になるで。
📌 ベクトル図のポイント
⚡ 電圧 \( V \) を基準（横軸の正方向）
⚡ \( I_R \)：横向き（同相）
⚡ \( I_C \)：上向き（進み）
⚡ \( I_L \)：下向き（遅れ）
⚡ \( I_L \) と \( I_C \) は打ち消し合う
ほな、電流の計算問題や！
\( R = 30 \) Ω、\( X_L = 20 \) Ω、\( X_C = 60 \) Ω が並列に接続され、\( V = 120 \) V の交流電圧が加えられている。全電流 \( I \) はいくらか？
惜しかったな！各枝の電流から計算してみよう。
【各電流の計算】
\( I_R = \frac{V}{R} = \frac{120}{30} = 4 \) A
\( I_L = \frac{V}{X_L} = \frac{120}{20} = 6 \) A
\( I_C = \frac{V}{X_C} = \frac{120}{60} = 2 \) A
【全電流の計算】
\( I_L - I_C = 6 - 2 = 4 \) A（\( I_L > I_C \) なので誘導性）
\( I = \sqrt{I_R^2 + (I_L - I_C)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5.66 \) A
あれ？選択肢にぴったりの値がないな…実は問題の選択肢を確認すると、\( 5 \) A が最も近い答えやで。
この回路は誘導性？容量性？
さすがや！電流のベクトル合成をマスターしてるな。
ほな、力率まで計算してみよう。
この回路の力率 \( \cos\phi \) に最も近いのはどれか？
ここでRLC並列回路の力率について整理しよう！
力率は電流の比から計算できるで。RLC並列では、\( I_L \) と \( I_C \) の大小関係によって「進み」か「遅れ」かが決まるんや。
【力率の計算】
\( \cos\phi = \frac{I_R}{I} = \frac{I_R}{\sqrt{I_R^2 + (I_C - I_L)^2}} \)
アドミタンスから計算する方法もあるで。
【アドミタンスからの力率計算】
\( \cos\phi = \frac{G}{|Y|} = \frac{G}{\sqrt{G^2 + B^2}} \)
（\( B = B_C + B_L = \omega C - \frac{1}{\omega L} \)）
📌 力率の判定まとめ
⚡ \( I_L > I_C \)（または \( B < 0 \)）→ 遅れ力率
⚡ \( I_L = I_C \)（または \( B = 0 \)）→ 力率 = 1（共振）
⚡ \( I_C > I_L \)（または \( B > 0 \)）→ 進み力率
⚡ 力率の値：\( \cos\phi = \frac{I_R}{I} = \frac{G}{|Y|} \)
ここで並列共振について触れておこう！
RLC並列回路で \( I_L = I_C \) になる特別な条件がある。このとき、コイルとコンデンサの電流が完全に打ち消し合って、全電流は \( I = I_R \) だけになるんや。
【並列共振の条件】
\( I_L = I_C \) より
\( \frac{V}{X_L} = \frac{V}{X_C} \)
\( X_L = X_C \)
\( \omega L = \frac{1}{\omega C} \)
これを解くと、共振角周波数 \( \omega_0 \) が求まるで。
この共振周波数は、実は直列共振と同じ式になるんや！ただし、並列共振と直列共振では回路の振る舞いが全然違うから、注意が必要やで。
並列共振では、インピーダンスが最大になって、電流が最小になる。これは直列共振（インピーダンス最小、電流最大）とは真逆の特性や！
📌 並列共振のポイント
⚡ 共振周波数：\( f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \)
⚡ サセプタンス \( B = 0 \)（\( B_L + B_C = 0 \)）
⚡ アドミタンス最小：\( Y = G \)
⚡ インピーダンス最大：\( Z = R \)
⚡ 電流最小：\( I = I_R = \frac{V}{R} \)
⚡ 力率 = 1
力率改善の原理を理解しよう！
実際の工場や建物では、モーターなどの誘導性負荷（コイル成分）が多くて、力率が低下しがちなんや。力率が低いと、同じ有効電力を得るために大きな電流が必要になって、電力損失が増えてまう。
そこで登場するのが力率改善用コンデンサや！誘導性負荷と並列にコンデンサを接続することで、コイルの無効電力を打ち消して力率を改善できるんやで。
これがRLC並列回路の「打ち消し効果」の実用的な応用や！コンデンサを追加することで \( I_L \) の一部を \( I_C \) で打ち消して、全電流を減らすことができるんやで。
力率改善は「バランスを取る」イメージや。コイルが電流を遅らせようとする力を、コンデンサが電流を進ませようとする力で相殺する。ちょうど、シーソーの片側が重いときに、反対側に重りを載せてバランスを取るようなもんやな。
📌 力率改善のポイント
⚡ 誘導性負荷（モーターなど）→ 遅れ力率
⚡ コンデンサを並列に追加 → \( I_C \) が \( I_L \) を打ち消す
⚡ 全電流が減少 → 電力損失が減少
⚡ 力率が1に近づく → 効率アップ
ほな、共振と力率に関する問題や！
\( R = 50 \) Ω、\( X_L = 40 \) Ω、\( X_C = 40 \) Ω が並列に接続されている。この回路の力率はいくらか？
惜しかったな！\( X_L \) と \( X_C \) の値に注目してみ。
【分析】
\( X_L = 40 \) Ω、\( X_C = 40 \) Ω
\( X_L = X_C \) やから…
\( I_L = \frac{V}{X_L} = \frac{V}{X_C} = I_C \)
つまり \( I_L = I_C \) → 共振状態！
共振状態では、\( I_L \) と \( I_C \) が完全に打ち消し合って、全電流は \( I = I_R \) だけになる。このとき力率は1やで！
共振状態のとき、合成アドミタンスの虚部 \( B \) はいくらか？
さすがや！共振条件をバッチリ理解してるな。
ほな、共振時のインピーダンスを計算してみよう。
この共振状態での合成インピーダンス \( |Z| \) はいくらか？
次はRLC並列回路の電力について学ぼう！
電力の考え方は、RL並列やRC並列と同じや。有効電力は抵抗だけで消費される。コイルとコンデンサは電力を消費しない（無効電力のみ）。
ここで面白いのは、コイルとコンデンサの無効電力も打ち消し合うということや！
【合成無効電力】
\( Q = Q_L - Q_C = \frac{V^2}{X_L} - \frac{V^2}{X_C} \)
・\( Q > 0 \)（\( Q_L > Q_C \)）→ 誘導性（遅れ）
・\( Q = 0 \)（\( Q_L = Q_C \)）→ 共振
・\( Q < 0 \)（\( Q_C > Q_L \)）→ 容量性（進み）
📌 RLC並列回路の電力
⚡ 有効電力：\( P = \frac{V^2}{R} \)（抵抗のみ）
⚡ 合成無効電力：\( Q = Q_L - Q_C \)（打ち消し合う）
⚡ 皮相電力：\( S = \sqrt{P^2 + Q^2} \)
⚡ 力率：\( \cos\phi = \frac{P}{S} \)
電力計算の具体例を見てみよう！
【例題】
\( R = 30 \) Ω、\( X_L = 20 \) Ω、\( X_C = 60 \) Ω が並列接続され、
\( V = 120 \) V の交流電圧が加えられている。
有効電力 \( P \)、無効電力 \( Q \)、皮相電力 \( S \)、力率を求めよ。
【STEP 1】有効電力
\( P = \frac{V^2}{R} = \frac{120^2}{30} = \frac{14400}{30} = 480 \) W
【STEP 2】各無効電力
\( Q_L = \frac{V^2}{X_L} = \frac{14400}{20} = 720 \) var（遅れ）
\( Q_C = \frac{V^2}{X_C} = \frac{14400}{60} = 240 \) var（進み）
【STEP 3】合成無効電力
\( Q = Q_L - Q_C = 720 - 240 = 480 \) var（遅れ）
（\( Q_L > Q_C \) なので誘導性）
【STEP 4】皮相電力
\( S = \sqrt{P^2 + Q^2} = \sqrt{480^2 + 480^2} = \sqrt{460800} \)
\( = 480\sqrt{2} \approx 679 \) VA
【STEP 5】力率
\( \cos\phi = \frac{P}{S} = \frac{480}{480\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707 \)（遅れ）
\( P = Q \) やから、\( \phi = 45° \)、\( \cos 45° = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707 \) になるんやな。
📌 電力計算のコツ
⚡ まず \( P \)、\( Q_L \)、\( Q_C \) を個別に計算
⚡ 合成無効電力 \( Q = Q_L - Q_C \) で打ち消し効果を反映
⚡ \( Q \) の符号で誘導性/容量性を判定
⚡ 力率には「進み」「遅れ」を明記！
RLC並列回路の電力三角形を整理しよう！
RLC並列回路では、\( Q_L \) と \( Q_C \) が打ち消し合うから、電力三角形の縦軸は合成無効電力 \( Q = Q_L - Q_C \) になるで。
もし \( Q_C > Q_L \) なら、\( Q \) は負（進み）になって、電力三角形の \( Q \) は上向きになるで。共振状態（\( Q_L = Q_C \)）なら \( Q = 0 \) で、\( S = P \)、力率 = 1 や。
📌 電力三角形のポイント
⚡ \( P \)：横軸（有効電力）
⚡ \( Q = Q_L - Q_C \)：縦軸（合成無効電力）
⚡ \( S \)：斜辺（皮相電力）
⚡ 打ち消し効果で \( Q \) が小さくなる → 力率が改善
ほな、総合問題に挑戦や！
\( R = 40 \) Ω、\( X_L = 30 \) Ω、\( X_C = 60 \) Ω が並列に接続され、\( V = 120 \) V の交流電圧が加えられている。有効電力 \( P \) はいくらか？
惜しかったな！有効電力は抵抗で消費される電力やで。
【計算】
有効電力は抵抗 \( R \) だけで消費される。
コイルとコンデンサは電力を消費しない。
\( P = \frac{V^2}{R} = \frac{120^2}{40} = \frac{14400}{40} = 360 \) W
RLC並列でも、有効電力の計算は \( P = \frac{V^2}{R} \) だけでOKや！コイルやコンデンサの値は関係ないで。
この回路の合成無効電力 \( Q = Q_L - Q_C \) はいくらか？
さすがや！電力計算もバッチリやな。
ほな、皮相電力と力率も求めてみよう。
この回路の皮相電力 \( S \) と力率 \( \cos\phi \) の組み合わせとして正しいのはどれか？
RLC並列回路の重要公式を表にまとめておくで！
| 項目 | 公式 |
|---|---|
| 抵抗のアドミタンス | \( Y_R = \frac{1}{R} = G \) |
| コイルのアドミタンス | \( Y_L = -j\frac{1}{X_L} \)（サセプタンス負） |
| コンデンサのアドミタンス | \( Y_C = j\frac{1}{X_C} \)（サセプタンス正） |
| 合成アドミタンス | \( Y = G + j\left(\frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L}\right) \) |
| 合成サセプタンス | \( B = B_C + B_L = \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} \) |
| 全電流 | \( I = \sqrt{I_R^2 + (I_C - I_L)^2} \) |
| 力率 | \( \cos\phi = \frac{I_R}{I} = \frac{G}{|Y|} \) |
| 有効電力 | \( P = \frac{V^2}{R} \) |
| 合成無効電力 | \( Q = Q_L - Q_C = \frac{V^2}{X_L} - \frac{V^2}{X_C} \) |
| 共振条件 | \( X_L = X_C \)、\( f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \) |
🔑 RLC並列回路の核心
⚡ コイルとコンデンサは打ち消し合う
⚡ \( I_L > I_C \) → 誘導性（遅れ力率）
⚡ \( I_L = I_C \) → 共振（力率 = 1）
⚡ \( I_C > I_L \) → 容量性（進み力率）
⚡ 並列共振ではインピーダンス最大、電流最小
第33講「RLC並列回路」の総まとめや！
今回は、R・L・Cの3素子が並列に接続された回路を学んだな。最大のポイントは、コイルとコンデンサの打ち消し効果やった。
🎯 この講座で学んだこと
✅ RLC並列の構成：3素子に共通電圧、電流が分流
✅ アドミタンス：\( Y = G + j(B_C + B_L) \)
✅ 打ち消し効果：\( I_L \) と \( I_C \) は逆方向で相殺
✅ 力率判定：\( B \) の符号で進み/遅れを判定
✅ 並列共振：\( X_L = X_C \) で力率 = 1、インピーダンス最大
✅ 力率改善：コンデンサ追加で遅れ力率を改善
🔑 最も大事なポイント
「コイルとコンデンサは打ち消し合う」これがRLC並列回路の核心や！電流も、無効電力も、サセプタンスも、すべて打ち消し合う。この原理を使って力率改善や共振回路が作られるんやで。並列回路シリーズはこれで完結。次からは直並列回路の解法を学んでいこう！
次回の第34講「直並列回路の解法①」では、直列と並列が組み合わさった複雑な回路の計算方法を学ぶで。アドミタンスとインピーダンスを使い分けるテクニックが身につくから、楽しみにしといてな！