RL並列回路のアドミタンス計算【電験三種 理論】

【RL並列回路の特徴】

・電圧 \( V \) は \( R \) と \( L \) で共通（並列だから）

・全電流 \( I \) は分流して \( I_R \) と \( I_L \) になる

・\( I = I_R + I_L \)（キルヒホッフの電流則）

【抵抗 R のアドミタンス】

インピーダンス：\( Z_R = R \)

アドミタンス：\( Y_R = \frac{1}{R} \) [S]

→ 実数（コンダクタンス \( G = \frac{1}{R} \)）

【合成アドミタンスの成分】

コンダクタンス：\( G = \frac{1}{R} \) [S]

サセプタンス：\( B = -\frac{1}{\omega L} = B_L \) [S]（負の値）

【アドミタンスの位相角】

\( \theta_Y = \tan^{-1}\frac{B}{G} = \tan^{-1}\frac{-\frac{1}{\omega L}}{\frac{1}{R}} = \tan^{-1}\left(-\frac{R}{\omega L}\right) \)

→ 位相角は負（誘導性だから）

【合成インピーダンスの計算】

\( Y = G + jB = \frac{1}{R} - j\frac{1}{\omega L} \) のとき

\( Z = \frac{1}{Y} = \frac{1}{G + jB} \)

【例題】

\( R = 6 \) Ω と \( X_L = 8 \) Ω のコイルが並列に接続されている。

合成アドミタンス \( Y \) と合成インピーダンス \( Z \) を求めよ。

\( Y = Y_R + Y_L = \frac{1}{6} - j\frac{1}{8} \) S

通分すると：\( Y = \frac{4}{24} - j\frac{3}{24} = \frac{4 - j3}{24} \) S

\( Z = \frac{1}{Y} = \frac{24}{4 - j3} = \frac{24(4 + j3)}{(4 - j3)(4 + j3)} = \frac{24(4 + j3)}{16 + 9} \)

\( = \frac{24(4 + j3)}{25} = \frac{96 + j72}{25} = 3.84 + j2.88 \) Ω

【各枝の電流】

抵抗を流れる電流：\( \dot{I}_R = \frac{\dot{V}}{R} = \dot{V} Y_R \)

コイルを流れる電流：\( \dot{I}_L = \frac{\dot{V}}{jX_L} = \dot{V} Y_L \)

【位相関係】

・\( \dot{I}_R \)：電圧 \( \dot{V} \) と同相（抵抗だから）

・\( \dot{I}_L \)：電圧 \( \dot{V} \) より90°遅れ（コイルだから）

・\( \dot{I} \)：電圧 \( \dot{V} \) より0°〜90°遅れ（RとLの比率による）

【ベクトル図の描き方】

① 電圧 \( \dot{V} \) を基準（横軸の正の向き）に描く

② 抵抗電流 \( \dot{I}_R \) を電圧と同じ向きに描く

③ コイル電流 \( \dot{I}_L \) を電圧から90°遅れた向き（下向き）に描く

④ 全電流 \( \dot{I} = \dot{I}_R + \dot{I}_L \) をベクトル合成で描く

【力率の計算方法①】電流の比から

\( \cos\phi = \frac{I_R}{I} = \frac{I_R}{\sqrt{I_R^2 + I_L^2}} \)

【力率の計算方法③】インピーダンスから

\( \cos\phi = \frac{R_{eq}}{|Z|} \)

（\( R_{eq} \) は合成インピーダンスの実部）

【低周波数のとき（\( f \) が小さい）】

・\( X_L = 2\pi f L \) → 小さい

・\( |Y_L| = \frac{1}{X_L} \) → 大きい（コイルに電流が流れやすい）

・回路全体のアドミタンス → 大きい

・回路全体のインピーダンス → 小さい

【パターン①】合成インピーダンスを求める

与えられる情報：\( R \)、\( X_L \)（または \( L \)、\( f \)）

求めるもの：\( Z \) または \( |Z| \)

解法：アドミタンスを足して \( Y \) を求め、\( Z = \frac{1}{Y} \)

【パターン③】力率を求める

与えられる情報：\( R \)、\( X_L \)（または電流値）

求めるもの：\( \cos\phi \)

解法：\( \cos\phi = \frac{I_R}{I} = \frac{G}{|Y|} \)

【例題】

周波数 \( f = 50 \) Hz の交流電源（\( V = 200 \) V）に、\( R = 40 \) Ω の抵抗と \( L = 0.1 \) H のコイルが並列に接続されている。

① 合成インピーダンスの大きさ \( |Z| \) を求めよ。

② 全電流の大きさ \( |I| \) を求めよ。

③ 回路の力率を求めよ。

①合成インピーダンス

\( Y = \frac{1}{R} - j\frac{1}{X_L} = \frac{1}{40} - j\frac{1}{31.4} = 0.025 - j0.0318 \) S

\( |Y| = \sqrt{0.025^2 + 0.0318^2} = \sqrt{0.00164} \approx 0.0405 \) S

\( |Z| = \frac{1}{|Y|} \approx \frac{1}{0.0405} \approx 24.7 \) Ω

③力率

\( \cos\phi = \frac{G}{|Y|} = \frac{0.025}{0.0405} \approx 0.617 \)（遅れ）