力率改善の計算｜必要なコンデンサ容量【電験三種 理論】

【計算の流れ】

① 与えられた力率 \( \cos\phi_1 \)、\( \cos\phi_2 \) から \( \tan\phi \) を求める

② \( Q_C = P(\tan\phi_1 - \tan\phi_2) \) で必要な無効電力を計算

③ \( C = \frac{Q_C}{\omega V^2} \) でコンデンサ容量を計算

④ 必要に応じて F → μF に単位変換（×10⁶）

【公式の導出】

\( Q_C = \frac{V^2}{X_C} = \frac{V^2}{\frac{1}{\omega C}} = \omega C V^2 \)

これを \( C \) について解くと：

\( C = \frac{Q_C}{\omega V^2} = \frac{Q_C}{2\pi f V^2} \)

【tan φ の求め方】

① \( \sin^2\phi + \cos^2\phi = 1 \) より \( \sin\phi = \sqrt{1 - \cos^2\phi} \)

② \( \tan\phi = \frac{\sin\phi}{\cos\phi} \)

【例題】

電圧 \( V = 200 \) V、周波数 \( f = 50 \) Hz の電源に接続された負荷がある。

有効電力 \( P = 1600 \) W、力率 \( \cos\phi_1 = 0.8 \)（遅れ）のとき、

力率を 1.0 に改善するために必要なコンデンサの静電容量 \( C \) を求めよ。

\( \omega = 2\pi f = 2\pi \times 50 = 100\pi \) rad/s

\( C = \frac{Q_C}{\omega V^2} = \frac{1200}{100\pi \times 200^2} \)

\( = \frac{1200}{100\pi \times 40000} = \frac{1200}{4000000\pi} \)

\( = \frac{1200}{4 \times 10^6 \times \pi} = \frac{3}{10000\pi} \)

\( \approx \frac{3}{31416} \approx 9.55 \times 10^{-5} \) F

【コツ①】よく使う値を覚える

・\( \cos\phi = 0.8 \) → \( \tan\phi = 0.75 = \frac{3}{4} \)

・\( \cos\phi = 0.6 \) → \( \tan\phi = \frac{4}{3} \approx 1.333 \)

・\( 2\pi \times 50 = 100\pi \approx 314 \)

・\( 2\pi \times 60 = 120\pi \approx 377 \)

【コツ③】電圧の2乗を先に計算

・\( V = 100 \) V → \( V^2 = 10000 = 10^4 \)

・\( V = 200 \) V → \( V^2 = 40000 = 4 \times 10^4 \)

・\( V = 1000 \) V → \( V^2 = 10^6 \)

【例題】

有効電力 \( P = 1000 \) W、力率 \( \cos\phi_1 = 0.6 \) の負荷を

力率 \( \cos\phi_2 = 0.8 \) に改善するとき、必要な \( Q_C \) を求めよ。

【方法①】P を求めてから計算

\( P = S \cos\phi \) で有効電力を求め、通常の手順で計算

【例】\( S = 1000 \) VA、\( \cos\phi_1 = 0.8 \) の負荷

有効電力：\( P = S \cos\phi_1 = 1000 \times 0.8 = 800 \) W

あとは \( P = 800 \) W として通常通り計算すればOK！

【パターン①】基本形

与えられる情報：\( P \)、\( \cos\phi_1 \)、\( \cos\phi_2 \)、\( V \)、\( f \)

求めるもの：コンデンサ容量 \( C \)

解法：3ステップで計算（\( Q_C \) → \( C \)）

【パターン③】電流が与えられる

与えられる情報：\( V \)、\( I \)、\( \cos\phi_1 \)、\( \cos\phi_2 \)、\( f \)

求めるもの：コンデンサ容量 \( C \)

解法：\( P = VI\cos\phi_1 \) を求め、基本形と同じ手順

【パターン⑤】改善後の力率を求める

与えられる情報：\( P \)、\( \cos\phi_1 \)、\( C \)、\( V \)、\( f \)

求めるもの：改善後の力率 \( \cos\phi_2 \)

解法：

① \( Q_C = \omega C V^2 \) でコンデンサの無効電力を計算

② \( Q_1 = P \tan\phi_1 \) で改善前の無効電力を計算

③ \( Q_2 = Q_1 - Q_C \) で改善後の無効電力を計算

④ \( \tan\phi_2 = Q_2 / P \) から \( \cos\phi_2 \) を求める

【複数負荷の合成】

・合計有効電力：\( P_{total} = P_1 + P_2 + \cdots \)

・合計無効電力：\( Q_{total} = Q_1 + Q_2 + \cdots \)

・合計皮相電力：\( S_{total} = \sqrt{P_{total}^2 + Q_{total}^2} \)

・合成力率：\( \cos\phi = P_{total} / S_{total} \)

【手順①】与えられた情報を整理

・電圧 \( V \) [V]、周波数 \( f \) [Hz]

・有効電力 \( P \) [W]（または \( S \)、\( V \)、\( I \) から計算）

・改善前の力率 \( \cos\phi_1 \)、改善後の力率 \( \cos\phi_2 \)

【手順③】必要な無効電力 Q_C を計算

・\( Q_C = P(\tan\phi_1 - \tan\phi_2) \) [var]

【手順⑤】単位変換

・[F] → [μF]：× 10⁶

・[F] → [mF]：× 10³

【例題】

単相交流電源（電圧 \( V = 200 \) V、周波数 \( f = 50 \) Hz）に接続された誘導性負荷がある。負荷の消費電力は \( P = 3000 \) W、力率は \( \cos\phi_1 = 0.6 \)（遅れ）である。この負荷に並列にコンデンサを接続して力率を \( \cos\phi_2 = 0.8 \)（遅れ）に改善するとき、必要なコンデンサの静電容量 \( C \) [μF] を求めよ。

\( Q_C = P(\tan\phi_1 - \tan\phi_2) = 3000 \times \left(\frac{4}{3} - \frac{3}{4}\right) \)

\( = 3000 \times \frac{16 - 9}{12} = 3000 \times \frac{7}{12} = 1750 \) var

\( C = 1.39 \times 10^{-4} \times 10^6 = 139 \) μF ≈ 140 μF