平行平板コンデンサの静電容量｜C=εS/dの公式【電験三種 理論】
C = εS/d を導く！
よっしゃ！静電気の第13講スタートや！
今回のテーマは「平行平板コンデンサ」や。
前回学んだ静電容量 C = Q/V が、コンデンサの形や材料でどう決まるのか、詳しく見ていくで！
📚 この講座で学ぶこと
✅ 平行平板コンデンサの構造を理解する
✅ 静電容量の公式 C = εS/d を導出する
✅ 面積S、距離d、誘電率εの影響を学ぶ
✅ 誘電体挿入で静電容量がどう変わるか理解する
✅ 比誘電率εᵣの意味を学ぶ
まず、平行平板コンデンサの構造を見てみよか。
これがコンデンサの最も基本的な形や！試験でも頻出やで。
💡 サンドイッチ構造をイメージ！
パン（極板）に具（誘電体）を挟んだサンドイッチみたいな構造や。
・パンの大きさ（面積S）が大きいほど → たくさん挟める（容量大）
・パンの間隔（距離d）が狭いほど → ギュッと詰まる（容量大）
・具の種類（誘電率ε）で性質が変わる
📌 平行平板コンデンサとは
・2枚の平行な極板で構成される最もシンプルなコンデンサ
・極板の面積：S [m²]
・極板間の距離：d [m]
・極板間の誘電率：ε [F/m]（空気ならε₀、誘電体ならε₀εᵣ）
平行平板コンデンサの静電容量の公式を見てみよか！
これは電験で絶対に覚えなあかん公式やで！
💡 公式の覚え方：「イプシロン・エス・ディー」
C = ε × S ÷ d と覚えよう！
・ε（イプシロン）が分子 → 誘電率が高いほど容量大
・S（面積）が分子 → 面積が広いほど容量大
・d（距離）が分母 → 距離が近いほど容量大
「広くて近いほど、たくさん電気を蓄えられる」と覚えとき！
💡 覚え方
・面積 S が大きい → C が大きい（分子にある）
・距離 d が小さい → C が大きい（分母にある）
・「広くて近い」ほど容量が大きい！
公式 C = εS/d を導出してみよか！
導出の手順
① 極板の電荷密度：σ = Q/S
② ガウスの法則より電界：E = σ/ε = Q/(εS)
③ 電圧：V = Ed = Qd/(εS)
④ 静電容量：C = Q/V = Q ÷ Qd/(εS)
⑤ 整理して：C = εS/d
📌 導出のポイント
・ガウスの法則：E = σ/ε
・平行平板間の電圧：V = Ed
・C = Q/V に代入して整理
ほな、確認問題や！
平行平板コンデンサで、極板の面積Sを2倍にすると静電容量Cはどうなる？
OK、公式を確認しよか。
C = εS/d の関係
C は S に比例する
S が 2倍 → C も 2倍
C = εS/d で S が分子にある。S を2倍にすると C は？
さすがや！ほな応用問題いくで。
面積Sを2倍、距離dを1/2倍にすると、静電容量Cは何倍？
次は誘電率 ε について詳しく見ていこか。
📌 真空の誘電率 ε₀
・すべての誘電率の基準
・値：約 8.85 × 10⁻¹² [F/m]
・空気もほぼ同じ値（≈ ε₀）
💡 覚え方
ε₀ ≈ 1/(36π) × 10⁻⁹ [F/m]
または ε₀ ≈ 8.85 × 10⁻¹² [F/m]
物質によって誘電率が違う！比誘電率 εᵣ を学ぼか。
| 物質 | 比誘電率 εᵣ |
|---|---|
| 真空 | 1 |
| 空気 | ≈ 1 |
| 紙 | 2〜3 |
| ガラス | 5〜10 |
| 水 | 約80 |
誘電体を挿入すると静電容量がどう変わるか見てみよか。
📌 誘電体挿入の効果
・真空の静電容量：C₀ = ε₀S/d
・誘電体挿入後：C = εᵣC₀ = εᵣε₀S/d
・静電容量が εᵣ 倍 になる！
ほな、計算問題いくで！
真空中で C₀ = 5 pF のコンデンサに、比誘電率 εᵣ = 4 の誘電体を挿入した。新しい静電容量 C は？
OK、誘電体挿入の効果を確認しよか。
C = εᵣC₀ の計算
C₀ = 5 pF
εᵣ = 4
C = 4 × 5 = 20 pF
4 × 5 = ？
さすがや！ほな応用問題いくで。
面積 S = 0.01 m²、距離 d = 1 mm、比誘電率 εᵣ = 5 のコンデンサの静電容量は？（ε₀ = 8.85×10⁻¹² F/m）
誘電体を入れると電界がどう変わるかも見とこか。
📌 2つのパターン
・電源接続：V 一定 → Q が増える、E は変わらない
・電源切断：Q 一定 → V が減る、E も 1/εᵣ に減少
具体的な計算例を見てみよか。
例題
面積 S = 100 cm² = 0.01 m²
距離 d = 2 mm = 0.002 m
真空（εᵣ = 1）のとき
C = ε₀S/d = 8.85×10⁻¹² × 0.01 / 0.002
= 8.85×10⁻¹² × 5 = 44.25×10⁻¹² F
= 44.25 pF
💡 計算のコツ
・単位を SI 単位（m, F）に揃える
・cm² → m² は 10⁻⁴ をかける
・mm → m は 10⁻³ をかける
公式を直感的に理解しよか。
ほな、問題いくで！
極板間の距離 d を 1/3 にすると、静電容量 C はどうなる？
OK、C と d の関係を確認しよか。
C = εS/d の関係
C は d に反比例する
d が 1/3 倍 → C は 3 倍
C = εS/d で d が分母にある。d を 1/3 にすると C は？
さすがや！ほな発展問題いくで。
C = 100 pF のコンデンサに電源 V = 50 V をつないだまま、εᵣ = 2 の誘電体を全体に入れた。蓄えられる電荷 Q は？
平行平板コンデンサの公式をまとめとくで！
| 公式 | 意味 |
|---|---|
| C = εS/d | 静電容量の基本式 |
| ε = εᵣε₀ | 誘電率の関係 |
| C = εᵣε₀S/d | 比誘電率を使った式 |
| C = εᵣC₀ | 誘電体挿入の効果 |
各パラメータの影響をまとめとくで！
| パラメータ | 変化 | C の変化 |
|---|---|---|
| 面積 S | 2倍 | 2倍（比例） |
| 距離 d | 2倍 | 1/2倍（反比例） |
| 誘電率 ε | 2倍 | 2倍（比例） |
💡 覚え方
C = εS/d
・分子（ε, S）が増えると C は増加
・分母（d）が増えると C は減少
単位の確認もしとこか！
C = εS/d の単位確認
[ε] = F/m
[S] = m²
[d] = m
[C] = (F/m) × m² / m = F ✓
最後の問題や！
電源を切断したコンデンサに誘電体（εᵣ = 3）を挿入した。極板間の電圧 V はどうなる？
OK、電源切断の場合を確認しよか。
電源切断の場合
Q：変化なし（逃げ場がない）
C：εᵣ 倍に増加
V = Q/C
Q 一定で C が3倍 → V は 1/3 倍
Q 一定で C が3倍になると、V = Q/C は？
よっしゃ、最後の発展問題や！
V = 100 V で充電後、電源を切断。εᵣ = 4 の誘電体を入れた。新しい電圧は？
今日学んだことをまとめるで！
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 基本公式 | C = εS/d |
| 真空の誘電率 | ε₀ = 8.85×10⁻¹² F/m |
| 誘電率 | ε = εᵣε₀ |
| 誘電体挿入 | C が εᵣ 倍に増加 |
| 電源切断時 | Q 一定、V は 1/εᵣ 倍 |
よっしゃ！最後に今日のまとめや。
📝 第13講のまとめ
✅ 基本公式：C = εS/d
✅ S が大きい、d が小さい → C が大きい
✅ 比誘電率：ε = εᵣε₀（εᵣ は真空比）
✅ 誘電体挿入：C が εᵣ 倍になる
✅ 電源切断時：Q 一定、V は 1/εᵣ 倍
次回はコンデンサの直列接続を学ぶで！合成容量の計算方法をマスターしよな。楽しみにしとき！
お疲れさん！第13講「平行平板コンデンサ」終了や！
📝 今日のまとめ
✅ C = εS/d
✅ ε = εᵣε₀
✅ 誘電体で C が εᵣ 倍
✅ 電源切断で V は 1/εᵣ 倍