相互誘導回路とは？Mを含む回路の解法を図解で解説【電験三種 理論】
2つのコイルが手を繋ぐ！相互誘導の世界へ飛び込もう
第42講「相互誘導回路」へようこそ！
前回の第41講では、各種ブリッジ回路を学んだな。今回はいよいよ相互誘導という、2つのコイルが磁気的に結合する現象を学んでいくで！
相互誘導は、変圧器（トランス）の動作原理そのものや。次の第43講で学ぶ変圧器を理解するための超重要な基礎になるから、しっかりマスターしよう！
🎯 この講座で学ぶこと
📘 相互誘導とは：2つのコイル間の磁気的結合
📗 相互インダクタンス M：結合の強さを表す量
📙 結合係数 k：結合の度合いを0〜1で表す
📕 和動接続と差動接続：磁束の向きによる違い
📒 回路の解法：Mを含む回路の計算方法
相互誘導は「糸電話」みたいなもんや。片方のコイルに電流を流すと、その磁力線が隣のコイルに届いて電圧を誘導する。糸電話で片方が喋ると振動が糸を伝わって相手に届くのと同じ原理やな。2つのコイルが「磁力線という糸」でつながってるイメージや！
まずは相互誘導の基本から始めよう！
これまで学んできたコイル（インダクタ）は、1つのコイル単体での話やったな。コイルに電流を流すと磁束が発生して、電流が変化すると自分自身に起電力が誘導される。これが自己誘導や。
ほな、2つのコイルを近くに置いたらどうなるやろ？
片方のコイル（一次コイル）に電流を流すと磁束が発生するよな。その磁束の一部が、もう片方のコイル（二次コイル）を貫くんや。そして一次コイルの電流が変化すると、二次コイルを貫く磁束も変化して、二次コイルにも起電力が誘導される。
これが相互誘導や！一方のコイルの電流変化が、他方のコイルに影響を与えるんやで。
📌 自己誘導と相互誘導の違い
⚡ 自己誘導：自分の電流変化 → 自分に起電力
⚡ 相互誘導：相手の電流変化 → 自分に起電力
⚡ 相互誘導は2つのコイルの「協力プレー」！
次に相互インダクタンス Mについて詳しく見ていこう！
自己インダクタンス L は「自分のコイルがどれだけ磁束を作りやすいか」を表す量やったな。それと同じように、相互インダクタンス M は「一方のコイルの電流が、他方のコイルにどれだけ磁束を送り込めるか」を表す量や。
具体的に言うと、一次コイルに電流 \( i_1 \) を流したとき、二次コイルに鎖交する磁束を \( \Phi_{21} \) とすると...
この式の意味は、「電流 \( i_1 \) に比例して、相手のコイルに磁束 \( \Phi_{21} \) が鎖交する」ということや。比例定数の M が大きいほど、結合が強いってことやな。
ほんで、ファラデーの法則を使うと、二次コイルに誘導される起電力は...
マイナスは、誘導起電力が電流変化を妨げる向きに発生することを表してる（レンツの法則）。でも交流回路の計算では、このマイナスは位相の関係で処理するから、符号にこだわりすぎんでもええで。
📌 相互インダクタンス M のポイント
⚡ 単位は自己インダクタンスと同じ [H]（ヘンリー）
⚡ M が大きい → 結合が強い
⚡ M = 0 → 結合なし（独立した2つのコイル）
⚡ 相互誘導起電力 \( e = M \frac{di}{dt} \)
ここで超重要な概念、結合係数 k を学ぼう！
相互インダクタンス M の値は、2つのコイルの自己インダクタンス \( L_1 \)、\( L_2 \) と、どれだけ密に結合してるかによって決まるんや。
理論上、M の最大値は \( \sqrt{L_1 L_2} \) になる。これは一次コイルが作った磁束が100%すべて二次コイルを貫く理想的な場合や。でも実際には磁束の一部は空気中に漏れてしまうから、M はこの最大値より小さくなる。
そこで、結合の度合いを0〜1の数値で表すのが結合係数 k や！
この式を変形すると、M を求める公式になるで。
結合係数は「電話の音質」みたいなもんやな。k=1 はクリアに100%聞こえる状態、k=0.5 は半分くらいしか聞こえへん状態、k=0 は全く聞こえへん（圏外）状態や。変圧器は k≈1 を目指して作られてるんやで！
📌 結合係数 k のポイント
⚡ 0 ≤ k ≤ 1 の範囲
⚡ k = 1：理想的な密結合（理想変圧器）
⚡ k < 1：漏れ磁束がある（実際の状態）
⚡ 鉄心を入れると k が 1 に近づく
ほな、相互インダクタンスと結合係数の計算問題や！
自己インダクタンスがそれぞれ \( L_1 = 0.2 \) H、\( L_2 = 0.8 \) H の2つのコイルがある。結合係数 \( k = 0.5 \) のとき、相互インダクタンス M はいくらか？
惜しかったな！公式に当てはめて計算してみよう。
【相互インダクタンスの公式】
\( M = k\sqrt{L_1 L_2} \)
【代入して計算】
\( M = 0.5 \times \sqrt{0.2 \times 0.8} \)
\( = 0.5 \times \sqrt{0.16} \)
\( = 0.5 \times 0.4 \)
\( = 0.2 \) H
ポイントは \( \sqrt{L_1 L_2} \) の計算やな。\( 0.2 \times 0.8 = 0.16 \)、\( \sqrt{0.16} = 0.4 \) や。
同じ2つのコイル（\( L_1 = 0.2 \) H、\( L_2 = 0.8 \) H）で、相互インダクタンスが \( M = 0.32 \) H だった。結合係数 k はいくらか？
さすがや！相互インダクタンスの公式をしっかり使えてるな。
ほな、逆算問題に挑戦してみよう。
相互インダクタンス \( M = 0.3 \) H、結合係数 \( k = 0.75 \) の2つのコイルがある。\( L_1 = L_2 = L \)（等しい）とすると、L はいくらか？
次は和動接続と差動接続を学ぼう！
2つのコイルを直列につなぐとき、磁束の向きによって2通りのつなぎ方があるんや。これがめっちゃ重要なポイントやで！
まず、和動接続（加極性）から説明しよう。これは2つのコイルが作る磁束が同じ向きになるようにつなぐ方法や。磁束が「協力」し合うから、合成インダクタンスは大きくなる！
図にある●（ドット記号）は、磁束の向きを表すマークや。ドットが同じ側にあるとき、電流を同じ向きに流すと磁束が同じ向きになるんや。
+2M になるのは、相互誘導の効果が自己誘導と同じ向きに働くからや。お互いの磁束が強め合うんやな！
次は差動接続（減極性）や！
差動接続は、2つのコイルが作る磁束が逆向きになるようにつなぐ方法や。磁束が「打ち消し合う」から、合成インダクタンスは小さくなる！
ドット記号が反対側にあるとき、電流を同じ向きに流すと磁束が逆向きになるんや。
−2M になるのは、相互誘導の効果が自己誘導を打ち消す向きに働くからや。
📌 和動と差動の比較
⚡ 和動（+2M）：磁束が同じ向き → 強め合う → L大
⚡ 差動（−2M）：磁束が逆向き → 弱め合う → L小
⚡ ドット記号の位置で判断！
⚡ 差が \( 4M \) になる！（これ使って M を求める問題が頻出）
和動と差動を使って M を求める方法を学ぼう！
これ、電験でめっちゃ頻出のパターンやで。和動接続と差動接続で測定したインダクタンスの差から、相互インダクタンス M を計算するんや。
【2つの式を並べる】
和動：\( L_{和} = L_1 + L_2 + 2M \)
差動：\( L_{差} = L_1 + L_2 - 2M \)
この2つの式を引き算すると...
【引き算】
\( L_{和} - L_{差} = (L_1 + L_2 + 2M) - (L_1 + L_2 - 2M) \)
\( = 4M \)
おおっ！\( L_1 + L_2 \) が消えて、きれいに \( 4M \) だけが残るな！
この公式は実験的に M を測定するときによく使われるんや。2通りのつなぎ方でインダクタンスを測って、差を取って4で割るだけ！簡単やろ？
これは「差をとって共通部分を消す」という数学のテクニックや。2つの式の \( L_1 + L_2 \) は共通やから引き算で消えて、違いの部分（±2M）だけが4Mとして残るんやな。連立方程式の加減法と同じ考え方やで！
📌 M を求める公式
⚡ \( M = \frac{L_{和} - L_{差}}{4} \)（超頻出！）
⚡ 足し算すると：\( L_{和} + L_{差} = 2(L_1 + L_2) \)
⚡ つまり：\( L_1 + L_2 = \frac{L_{和} + L_{差}}{2} \)
ほな、和動・差動接続の計算問題や！
2つのコイルを直列接続したとき、和動接続では合成インダクタンスが 1.8 H、差動接続では 0.6 H だった。相互インダクタンス M はいくらか？
惜しかったな！公式に当てはめて計算してみよう。
【公式】
\( M = \frac{L_{和} - L_{差}}{4} \)
【代入して計算】
\( M = \frac{1.8 - 0.6}{4} \)
\( = \frac{1.2}{4} \)
\( = 0.3 \) H
和動と差動の差を取って、4で割るだけやな。シンプルやろ？
同じ条件（\( L_{和} = 1.8 \) H、\( L_{差} = 0.6 \) H）で、\( L_1 + L_2 \) はいくらか？
さすがや！和動・差動の公式をしっかり使えてるな。
ほな、結合係数まで求める問題に挑戦や！
2つの同じコイル（\( L_1 = L_2 = L \)）を直列接続したとき、和動で 1.0 H、差動で 0.2 H だった。結合係数 k はいくらか？
ここから相互誘導回路の電圧方程式を学んでいくで！
これまでは直列接続の合成インダクタンスを求めたけど、実際の交流回路では各コイルの電圧をどう表すかが重要になってくるんや。
一次コイルに流れる電流を \( i_1 \)、二次コイルに流れる電流を \( i_2 \) としよう。
一次コイルの電圧 \( v_1 \) は、自己誘導（\( L_1 \) による）と、二次電流による相互誘導（\( M \) による）の和になるんや。
\( v_1 = L_1 \frac{di_1}{dt} \pm M \frac{di_2}{dt} \)
\( v_2 = L_2 \frac{di_2}{dt} \pm M \frac{di_1}{dt} \)
±の符号は、磁束の向きによって決まるで。和動なら＋、差動なら−や。ドット記号を見て判断するんやで！
📌 電圧方程式のポイント
⚡ 各コイルの電圧 = 自己誘導 ± 相互誘導
⚡ 和動接続（同極性）なら +M
⚡ 差動接続（逆極性）なら −M
⚡ ドット記号で極性を判断！
交流回路でのフェーザ表示を学ぼう！
時間領域の微分 \( \frac{d}{dt} \) は、フェーザ表示では \( j\omega \) に置き換えられるんやったな。これを使うと、相互誘導の式もスッキリ書けるで！
【時間領域 → フェーザ領域】
\( L\frac{di}{dt} \) → \( j\omega L \cdot \dot{I} \)
\( M\frac{di}{dt} \) → \( j\omega M \cdot \dot{I} \)
せやから、相互誘導回路のフェーザ表示は...
\( \dot{V}_1 = j\omega L_1 \dot{I}_1 \pm j\omega M \dot{I}_2 \)
\( \dot{V}_2 = j\omega L_2 \dot{I}_2 \pm j\omega M \dot{I}_1 \)
ここで、\( j\omega L \) は自己リアクタンス、\( j\omega M \) は相互リアクタンスと呼ばれるで。記号で \( X_M = \omega M \) と書くこともあるんや。
📌 フェーザ表示のポイント
⚡ 自己誘導：\( j\omega L \cdot \dot{I} \)（自分の電流）
⚡ 相互誘導：\( \pm j\omega M \cdot \dot{I} \)（相手の電流）
⚡ 相互リアクタンス：\( X_M = \omega M \) [Ω]
⚡ 符号は和動なら＋、差動なら−
相互誘導回路の解法を具体例で見ていこう！
典型的な問題として、一次側に電源がつながっていて、二次側に抵抗がつながっている回路を考えるで。
この回路の方程式を立てると...
【一次側の電圧方程式】
\( \dot{V} = (R_1 + j\omega L_1)\dot{I}_1 + j\omega M \dot{I}_2 \)
（電源電圧 = 一次側の電圧降下 + 相互誘導）
【二次側の電圧方程式】
\( 0 = j\omega M \dot{I}_1 + (R_2 + j\omega L_2)\dot{I}_2 \)
（二次側は閉回路なので右辺 = 0）
注意してほしいのは、二次側の相互誘導項 \( j\omega M \dot{I}_1 \) は起電力として働くということや。一次電流が二次側に電圧を誘起してるんやな！
📌 回路方程式のポイント
⚡ 一次側：電源 = 自己インピーダンス × İ₁ + 相互項
⚡ 二次側：0 = 相互項 + 自己インピーダンス × İ₂
⚡ 相互項は「相手の電流」に \( j\omega M \) を掛ける
⚡ ドットが同じ側なら＋、反対側なら−
ほな、相互誘導回路の計算問題や！
相互インダクタンス \( M = 0.1 \) H で結合した2つのコイルがある。角周波数 \( \omega = 100 \) rad/s の交流で、一次コイルに \( \dot{I}_1 = 2 \) A（実効値）が流れているとき、二次コイルに誘導される起電力の大きさはいくらか？
※ 二次側は開放（\( \dot{I}_2 = 0 \)）とする
惜しかったな！相互誘導による起電力を計算してみよう。
【相互誘導による起電力】
二次側に誘導される起電力の大きさは
\( |E_2| = \omega M \cdot I_1 \)
【代入して計算】
\( |E_2| = 100 \times 0.1 \times 2 \)
\( = 10 \times 2 \)
\( = 20 \) V
\( \omega M = 100 \times 0.1 = 10 \) Ω が相互リアクタンスやな。これに電流を掛けると電圧になるで。
同じ条件で、角周波数が \( \omega = 200 \) rad/s になったら、誘導起電力はいくらになる？
さすがや！相互リアクタンスの計算バッチリやな。
ほな、変圧比に関する問題に挑戦や！
理想的な結合（\( k = 1 \)）で、\( L_1 = 0.4 \) H、\( L_2 = 0.1 \) H のとき、一次側に 100 V を加えると二次側の誘導起電力はいくらか？
※ ヒント：理想変圧器では \( \frac{V_2}{V_1} = \sqrt{\frac{L_2}{L_1}} \)
ドット記号の読み方をもう少し詳しく学ぼう！
電験の問題では、ドット記号（●）を見て相互誘導の符号を判断することが求められるんや。ここでしっかりマスターしておこう！
要するに、同じ回路で電流がどちらもドット側から入る（または出る）なら和動、片方がドット側から入って、他方がドット側から出るなら差動やということや。
ドット記号は「コイルの巻き方向を示すマーク」やと思えばええ。同じ向きに巻いてあるコイルは、同じ向きに電流を流すと同じ向きの磁束を作る。ドットはその「同じ向き」の基準点を示してるんや。
📌 ドット記号の判断方法
⚡ 両電流がドット側から入る → 和動（+M）
⚡ 両電流がドット側から出る → 和動（+M）
⚡ 一方が入り、他方が出る → 差動（−M）
⚡ 迷ったら「磁束の向き」をイメージ！
T型等価回路について学ぼう！
相互誘導回路は、Mを含む形のままだと計算が複雑になることがあるんや。そこで、相互誘導を含まない等価回路に変換すると便利なことがあるで。
代表的なのがT型等価回路や。これは、2つの結合コイルを、3つの独立したインダクタンスで表現する方法なんや。
T型等価回路を使うと、相互誘導の項がなくなって、普通のインダクタンスの直並列回路として扱えるようになるんや。
📌 T型等価回路のポイント
⚡ 左側インダクタンス：\( L_1 - M \)（または \( L_1 + M \)）
⚡ 中央インダクタンス：\( M \)（または \( -M \)）
⚡ 右側インダクタンス：\( L_2 - M \)（または \( L_2 + M \)）
⚡ 相互誘導を使わずに解析できる！
相互誘導回路の応用を見ていこう！
相互誘導は、実際の電気機器でたくさん使われてるんや。代表的な応用例を紹介するで。
特に変圧器（トランス）は、相互誘導を最大限に活用した機器や。次の第43講で詳しく学ぶから、今回学んだ相互誘導の基礎をしっかり押さえておいてな！
ワイヤレス充電も相互誘導の原理なんやで。充電台の一次コイルとスマホの二次コイルが磁気結合して、電力を非接触で伝送してる。結合係数 k は低いけど、距離が近いからちゃんと充電できるんや。
📌 相互誘導の応用まとめ
⚡ 変圧器：電圧変換の主役（k ≈ 1）
⚡ CT/PT：測定用の計器変成器
⚡ ワイヤレス充電：非接触電力伝送
⚡ 誘導加熱：IHクッキングヒーター
ほな、総合問題で仕上げや！
\( L_1 = 0.5 \) H、\( L_2 = 0.2 \) H、\( M = 0.2 \) H の2つのコイルがある。この2つを和動接続したときの合成インダクタンスはいくらか？
惜しかったな！和動接続の公式を使おう。
【和動接続の公式】
\( L_{和} = L_1 + L_2 + 2M \)
【代入して計算】
\( L_{和} = 0.5 + 0.2 + 2 \times 0.2 \)
\( = 0.5 + 0.2 + 0.4 \)
\( = 1.1 \) H
和動では +2M やから、0.4 H 分増えるんやな。
同じコイルを差動接続したら、合成インダクタンスはいくらになる？
さすがや！和動接続の公式バッチリやな。
ほな、結合係数まで絡めた問題に挑戦や！
問題4と同じコイル（\( L_1 = 0.5 \) H、\( L_2 = 0.2 \) H、\( M = 0.2 \) H）の結合係数 k はいくらか？
※ \( \sqrt{0.1} \approx 0.316 \) として計算
相互誘導回路の重要公式を表にまとめておくで！
| 項目 | 公式 | 備考 |
|---|---|---|
| 相互インダクタンス | \( M = k\sqrt{L_1 L_2} \) | k は結合係数 |
| 結合係数 | \( k = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}} \) | 0 ≤ k ≤ 1 |
| 和動接続 | \( L_{和} = L_1 + L_2 + 2M \) | 磁束が強め合う |
| 差動接続 | \( L_{差} = L_1 + L_2 - 2M \) | 磁束が弱め合う |
| M の測定 | \( M = \frac{L_{和} - L_{差}}{4} \) | 超頻出！ |
| 相互リアクタンス | \( X_M = \omega M \) | 単位は Ω |
🔑 相互誘導マスターへの道
⚡ M の計算 → \( M = k\sqrt{L_1 L_2} \)
⚡ 和動・差動 → ドット記号で判断、±2M
⚡ M の測定 → \( M = \frac{L_{和} - L_{差}}{4} \)
⚡ 交流計算 → \( j\omega M \) を使う
第42講「相互誘導回路」の総まとめや！
今回は、2つのコイルが磁気的に結合する「相互誘導」について学んだな。変圧器を理解するための超重要な基礎やから、しっかり復習しておいてな！
🎯 この講座で学んだこと
✅ 相互誘導の原理：一方の電流変化が他方に起電力を誘導
✅ 相互インダクタンス M：\( M = k\sqrt{L_1 L_2} \)
✅ 結合係数 k：結合の強さを0〜1で表す
✅ 和動接続：\( L = L_1 + L_2 + 2M \)（磁束が強め合う）
✅ 差動接続：\( L = L_1 + L_2 - 2M \)（磁束が弱め合う）
✅ M の測定：\( M = \frac{L_{和} - L_{差}}{4} \)
✅ ドット記号：極性の判断に使用
🔑 最も大事なポイント
電験では和動・差動の公式とM を求める公式が特に頻出や。「和動は +2M、差動は −2M」「M = (和 − 差) ÷ 4」は絶対に暗記しておこう！次の変圧器の講座でも使うで！
次回の第43講では「変圧器の等価回路」を学ぶで。相互誘導の最も重要な応用である変圧器を、理想変圧器と実際の変圧器の両面から詳しく見ていこう！