変圧器の効率と最大効率条件とは？鉄損=銅損を図解で解説【電験三種 機械】

まず「効率」って何やねん？っていう根本的なところから始めよか。

効率っていうのは、入力に対して、どれだけ有効に出力できたかを表す指標や。変圧器に限らず、あらゆる機器に共通する考え方やで。

変圧器の場合、入力は一次側から入る電力 \( P_1 \)、出力は二次側から出る電力 \( P_2 \)やから、効率 \( \eta \)（イータ）は：

これが効率の最も基本的な定義や。でもな、この式だけやと計算しにくいことが多い。なぜかというと、入力 \( P_1 \) を直接測るのが結構大変やからや。

そこで、入力と出力の関係を思い出してみよか。入力された電力は全て、出力＋損失になるはずやな。つまり：

この関係を使えば、効率の式を損失を使った形に書き換えられるんや。

ほな、効率の公式をもう少し実用的な形に変形していくで。

\( P_1 = P_2 + P_i + P_c \) を \( \eta = \frac{P_2}{P_1} \) に代入すると：

これが変圧器の効率を計算するときの基本中の基本の式や。電験三種では、ほぼ毎回この形を使うで。

ここで大事なのは、出力 \( P_2 \) の表し方や。変圧器の出力は次のように書ける：

単相変圧器の場合やで。三相の場合は \( \sqrt{3} \) がつくけど、今回はまず単相で理解しよか。

さて、ここで負荷率（ふかりつ）という超重要な概念を導入するで。負荷率 \( m \) は、「定格容量に対して、今どれだけの負荷をかけてるか」を表す値や。

たとえば、定格容量 10kVA の変圧器に 5kVA の負荷をつなげたら、負荷率は \( m = 0.5 \)（50%）ということや。定格いっぱいで使ってたら \( m = 1 \)（100%）やな。

この負荷率 \( m \) を使うと、出力と銅損をスッキリ表せるんや：

銅損が \( m^2 \) に比例するのは、前回学んだ通り \( P_c = I^2 r \) で電流の2乗に比例するからやな。負荷電流が定格の \( m \) 倍なら、銅損は \( m^2 \) 倍になるわけや。

ほな、負荷率 \( m \) を使って効率の式を完成させるで。これが電験三種で一番よく使う形や。

\( P_2 = m S_n \cos\phi \)、\( P_c = m^2 P_{cn} \) を代入すると：

この式をじーっと見てみ。分子も分母も \( m \) が入ってるけど、鉄損 \( P_i \) だけは \( m \) に関係ないんや。ここがミソやで。

ほな、具体的な数値で計算してみよか。

代入してみると：

\( \eta = \frac{1 \times 10000 \times 1}{1 \times 10000 \times 1 + 100 + 1^2 \times 200} \times 100 \)

\( = \frac{10000}{10000 + 100 + 200} \times 100 = \frac{10000}{10300} \times 100 \)

\( \approx 97.1 \) %

変圧器の効率は通常95〜99%とかなり高いんや。回転機（モーター）が80〜95%くらいなのと比べると、変圧器はめちゃくちゃ効率のいい機器やで。理由は簡単で、回転部分がないから機械損（摩擦損や風損）がゼロやからや。

ほな、ここまでの理解度を確認してみよか！

ほな、第1問いくで！効率の基本を確認しよう。

ええ感じやな！ここからは力率 \( \cos\phi \) が効率にどう影響するかを見ていくで。

さっきの効率の式をもう一回見てみ：

\( \eta = \frac{m S_n \cos\phi}{m S_n \cos\phi + P_i + m^2 P_{cn}} \times 100 \)

力率 \( \cos\phi \) が小さくなると、分子の出力は小さくなるのに、分母の損失（\( P_i + m^2 P_{cn} \)）は変わらへん。ということは？

力率が低いと効率も下がるんや！

これは直感的にも分かるやろ？力率が低いということは、見かけの電流（皮相電流）は流れてるけど、実際に仕事をしてる有効電力は少ないということや。でも銅損は電流の2乗に比例するから、仕事してない分の電流でも銅損は発生するんや。もったいないやろ？

ということは、同じ変圧器でも力率1.0のときが最も効率が良いということや。電験の問題で「力率1のとき」という条件がよく出てくるのは、そういう理由やで。

ほな、もう少し実践的な計算例をやってみよか。

【Step 1】出力を求める

\( P_2 = m \times S_n \times \cos\phi = 0.5 \times 50000 \times 0.8 = 20000 \) W = 20 kW

【Step 2】銅損を求める

\( P_c = m^2 \times P_{cn} = 0.5^2 \times 600 = 0.25 \times 600 = 150 \) W

注目！銅損は定格の 600W ではなく、\( m^2 \) 倍の 150W や。半分の負荷でも銅損は1/4になるんやで。

【Step 3】鉄損はそのまま

\( P_i = 300 \) W（負荷率に関係なく一定）

【Step 4】効率を計算

\( \eta = \frac{20000}{20000 + 300 + 150} \times 100 = \frac{20000}{20450} \times 100 \approx 97.8 \) %

ほな、問題で確認してみよか！

ほな、第2問や！実際に効率を計算してみよう。

さて、ここからが今日の最大のヤマ場や。「いったい、どんな負荷のときに効率が最大になるんやろ？」という問題に切り込んでいくで。

効率の式をもう一回書くと：

\( \eta = \frac{m S_n \cos\phi}{m S_n \cos\phi + P_i + m^2 P_{cn}} \times 100 \)

この式で、力率 \( \cos\phi \) は負荷で決まる定数として固定して考えよう。すると、効率 \( \eta \) は負荷率 \( m \) だけの関数になるんや。

ここでちょっと発想を変えるで。「効率が最大」ということは、「損失の割合が最小」ということやな。つまり、入力に対する損失の比率が一番小さくなるポイントを探せばええんや。

損失の割合を \( L \) とすると：

\( L = \frac{P_i + m^2 P_{cn}}{m S_n \cos\phi + P_i + m^2 P_{cn}} \)

これを \( m \) で微分してゼロとする…というのが数学的なアプローチやけど、もっと分かりやすい方法があるんや。

効率の式を変形して、1 kW あたりの損失で考えてみよか。出力 \( P_2 = m S_n \cos\phi \) に対する損失の比率は：

\( \frac{\text{損失}}{P_2} = \frac{P_i + m^2 P_{cn}}{m S_n \cos\phi} = \frac{P_i}{m S_n \cos\phi} + \frac{m P_{cn}}{S_n \cos\phi} \)

ここがポイントや！右辺を見てくれ。第1項 \( \frac{P_i}{m S_n \cos\phi} \) は \( m \) が大きくなると小さくなる（鉄損は一定やから、負荷が増えるほど1単位あたりの鉄損は薄まる）。第2項 \( \frac{m P_{cn}}{S_n \cos\phi} \) は \( m \) が大きくなると大きくなる（銅損は負荷に比例して増える）。

つまり、減っていく項と増えていく項の合計が最小になるポイントが最大効率点ということや！

前のステップで、「出力あたりの損失」は鉄損の項（mが増えると減少）と銅損の項（mが増えると増加）の和やって分かったな。

数学的に「減少する項＋増加する項の和が最小」になるのは、2つの項が等しくなるときや。これは相加平均・相乗平均の関係（AM-GM不等式）から導かれる有名な結果やで。

つまり：

\( \frac{P_i}{m S_n \cos\phi} = \frac{m P_{cn}}{S_n \cos\phi} \)

両辺に \( m S_n \cos\phi \) をかけると：

\( P_i = m^2 P_{cn} \)

ここで \( m^2 P_{cn} \) は何かというと…そう、実際の銅損 \( P_c \) そのものや！

めっちゃシンプルやろ？鉄損と銅損が等しくなる負荷のとき、変圧器の効率は最大になるんや。

これは丸暗記するんやなくて、「一定の損失と可変の損失が釣り合うとき、トータルの効率が最大になる」という本質を理解しとくことが大事やで。

ほな、この最大効率条件の理解を確認するで！

最大効率条件が \( P_i = P_c \) だと分かったところで、次は「具体的にどの負荷率のとき最大効率になるか」を求めるで。

最大効率条件 \( P_i = P_c \) に、\( P_c = m^2 P_{cn} \) を代入すると：

\( P_i = m^2 P_{cn} \)

これを \( m \) について解くと：

\( m^2 = \frac{P_i}{P_{cn}} \)

この公式は超重要！電験三種でド定番の出題パターンやで。

具体例で確認してみよか。鉄損 \( P_i = 100 \) W、定格銅損 \( P_{cn} = 400 \) W の変圧器の場合：

\( m = \sqrt{\frac{100}{400}} = \sqrt{0.25} = 0.5 \)

つまり、定格の50%の負荷のときに効率が最大になるんや。定格いっぱいで使うよりも、半分の負荷の方が効率がいいということやで。

実際の変圧器では鉄損 ＜ 定格銅損のことが多いから、最大効率は定格負荷より軽い負荷で発生することがほとんどや。だいたい定格の40〜80%くらいの負荷で最大効率になるで。

ここで、効率曲線をグラフで見てみよか。負荷率 \( m \) に対して効率 \( \eta \) がどう変わるか、一目で分かるで。

グラフを見ると、効率は負荷率 \( m = 0.5 \) のところでピークを迎えてるのが分かるな。このとき鉄損100W = 銅損100W（\( m^2 \times 400 = 0.25 \times 400 = 100 \) W）で、ちゃんと鉄損＝銅損になってるやろ。

軽い負荷側（左）では鉄損の影響が大きく、重い負荷側（右）では銅損の影響が大きい。その両方が釣り合うポイントが最大効率やってことが、曲線の形からも読み取れるで。

ほな、計算問題で確認していこか！

ほな、第4問！最大効率時の負荷率を計算してみよう。

ほな、第5問！今度は最大効率の値そのものを求める問題やで。

ここまでで効率の基本と最大効率条件はバッチリやな。ここからは電験三種で実際に出題される計算パターンを整理していくで。

電験三種の効率問題は、だいたい次の3パターンに分かれるんや。

パターン①はすでにやったな。\( \eta = \frac{mS_n\cos\phi}{mS_n\cos\phi + P_i + m^2 P_{cn}} \times 100 \) に代入するだけや。

パターン②は \( m = \sqrt{\frac{P_i}{P_{cn}}} \) を使う。ただし注意点がある。問題で「負荷 [kVA]」を聞かれた場合は、求めた \( m \) に定格容量 \( S_n \) をかけるのを忘れたらあかんで。

つまり、最大効率時の負荷 = \( m \times S_n \) [kVA] やな。

パターン③は二段階の計算が必要や。

Step1：\( m = \sqrt{\frac{P_i}{P_{cn}}} \) で最大効率時の負荷率を求める

Step2：最大効率時は \( P_i = P_c \) やから、損失 = \( 2P_i \)（鉄損の2倍）と覚えておくと計算が速い

Step3：\( \eta_{max} = \frac{m S_n \cos\phi}{m S_n \cos\phi + 2P_i} \times 100 \) で一発計算

ほな、試験で間違えやすいポイントを先回りで押さえておくで。ここを知ってるだけで、ケアレスミスがグッと減るはずや。

特に間違い①は致命的やで。\( m \neq 1 \) のとき、銅損は定格銅損とは違うことを常に意識しとかなあかん。銅損 = \( m^2 \times P_{cn} \) や。

間違い③もよくあるミスや。正しくは \( m = \sqrt{\frac{P_i}{P_{cn}}} \) で、ルートがついてるんや。ルートを忘れると値が全然違ってくるで。

もう一つ、電験でたまに出るひっかけパターンを紹介しとく。

ほな、総合的な計算問題で腕試しや！

ほな、第6問！総合的な計算問題やで。

ほな、第7問！知識の確認問題やで。

ラスト！第8問、今日の総仕上げやで！

お疲れさま！第14講、よう頑張ったな！

今日学んだことを最後にまとめるで。

「なぜ鉄損＝銅損で最大効率？」の理由を本質から説明できるようになったのが、今日の最大の収穫やで。一定の損失と可変の損失が釣り合うとき、出力あたりの損失が最小になるっていう考え方は、変圧器以外にも使える汎用的な原理やからな。