誘導機の最大トルクとは？sm=r2/x2の条件をわかりやすく解説【電験三種 機械】

まず、トルクの式を復習するところから始めよか。

第16講と第17講で学んだように、誘導電動機のトルクは次の式で表されるんやったな。

この式はちょっと複雑に見えるやろ？せやけど、電験三種ではよく簡略化した式が使われるんや。一次側のインピーダンスを無視する「L形等価回路の近似」を適用すると、こうなるで。

この近似式がめちゃくちゃ重要なんや。なんでかっていうと、この式から「最大トルクの条件」を数学的にキレイに導き出せるからやで。

さて、ここで考えてみ。この式の中で、すべり \( s \) を変化させたとき、トルクが最大になるのはどんな条件やろ？分母に注目すると \( (r_2/s)^2 + x_2^2 \) があるやろ？分子の \( r_2/s \) も \( s \) に依存してる。つまり、\( s \) を変えると分子も分母も両方変わるんや。

これは、ちょうど綱引きみたいなもんや。すべりが小さすぎると \( r_2/s \) が大きくなりすぎて分母が爆発する。すべりが大きすぎると \( r_2/s \) が小さくなって分子が小さくなる。その「ちょうどいいバランス」のところで、トルクは最大になるんやで。

ほな、いよいよ最大トルクが発生するすべり \( s_m \) を求めていくで。

トルクの近似式をもう一回見てみよか。

ここで、ちょっとだけ数学のテクニックを使うで。トルクが最大になる条件を求めるには、\( \frac{dT}{ds} = 0 \) を解けばええんやけど、もっと簡単な方法があるんや。

分母の \( (r_2/s)^2 + x_2^2 \) に注目してみ。ここで \( a = r_2/s \) と置き換えると、分母は \( a^2 + x_2^2 \)、分子は \( a \) になるよな。つまり、トルクは \( \frac{a}{a^2 + x_2^2} \) に比例するわけや。

この式が最大になる条件は何やろ？実は、これは「分母を分子で割った値が最小になる条件」と同じなんや。つまり \( \frac{a^2 + x_2^2}{a} = a + \frac{x_2^2}{a} \) を最小化すればええ。

ここで相加平均・相乗平均の関係（AM-GM不等式）を使うで。\( a > 0 \) のとき、

等号が成り立つのは \( a = x_2 \) のとき、つまり \( \frac{r_2}{s} = x_2 \) のときやな。これを \( s \) について解くと…

出たで！これが最大トルク条件や！

この式の意味を言葉にすると、こうなる。「二次回路において、抵抗成分 \( r_2/s \) とリアクタンス成分 \( x_2 \) が等しくなったとき、トルクは最大になる」ということや。

次は、最大トルクの大きさを求めるで。

\( s = s_m = \frac{r_2}{x_2} \) をトルクの近似式に代入してみよか。

ここで超重要なポイントに気づいたか？この最大トルクの式をよーく見てみ。

\( T_{max} = \frac{3V_1^2}{2\omega_s x_2} \) の中に、二次抵抗 \( r_2 \) が含まれてへんやろ！？

これ、めっちゃ大事やで。二次抵抗を変えると、トルク特性曲線のピークの「位置（すべり）」は左右にスライドするけど、ピークの「高さ（トルクの大きさ）」は変わらへんのや。

山登りに例えるなら、「山の頂上の高さは同じやけど、頂上にたどり着くまでの道のりの勾配が変わる」ようなもんや。二次抵抗は「道の勾配」を変えるけど、「山の高さ」は変えへんのやで。

この図を見てくれ。3本の曲線はそれぞれ二次抵抗が小さい場合、中くらいの場合、大きい場合を表してる。ピーク（最大トルク）の高さはどれも同じ \( T_{max} \) やけど、ピークの位置（すべり \( s_m \)）は右にずれていくやろ？

これが「\( s_m = \frac{r_2}{x_2} \) やから、\( r_2 \) が大きくなれば \( s_m \) も大きくなる」ということの視覚的な確認や。この図は電験三種でもよく出るパターンやから、しっかりイメージをつかんでおいてな。

ほな、ここまでの理解を確認するで！最初の問題や。

ここで、\( s_m = \frac{r_2}{x_2} \) の物理的な意味をもうちょっと深掘りしてみよか。

まず、二次回路のインピーダンスを考えてみ。すべりが \( s \) のとき、二次回路の等価インピーダンスは \( Z_2 = \frac{r_2}{s} + jx_2 \) やったな（L形等価回路の近似で一次側を無視した場合）。

ここで、二次電流 \( I_2 \) は \( I_2 = \frac{V_1}{|Z_2|} = \frac{V_1}{\sqrt{(r_2/s)^2 + x_2^2}} \) やろ。

一方、二次回路の力率（cosφ₂）は \( \cos\phi_2 = \frac{r_2/s}{\sqrt{(r_2/s)^2 + x_2^2}} \) や。

トルクは二次入力（同期ワット）に比例するから、\( T \propto P_g \propto V_1 I_2 \cos\phi_2 \) のような関係がある。つまり、トルクの大きさには「二次電流の大きさ」と「二次力率」の両方が効いてくるんや。

数学的に言えば、\( r_2/s = x_2 \) のとき、つまり抵抗成分とリアクタンス成分が等しいときに、このバランスが最適になる。このとき二次力率は \( \cos\phi_2 = \frac{x_2}{\sqrt{x_2^2 + x_2^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707 \) になるんやで。

さて、もう少し \( T_{max} \) の式を詳しく見ていこか。

この式からいくつかの重要な性質が読み取れるんや。

① 最大トルクは電圧の2乗に比例する

分子に \( V_1^2 \) があるやろ。これは、電圧が下がるとトルクが急激に減ることを意味してる。例えば電圧が80%に下がったら、最大トルクは \( 0.8^2 = 0.64 \)、つまり64%にまで減ってしまうんや。

これは実務でも重要なポイントやで。電力系統の電圧降下が激しい場所で誘導電動機を使うと、十分なトルクが出せなくて問題が起きることがあるんや。

② 最大トルクは同期角速度に反比例する

分母に \( \omega_s \) があるやろ。同期角速度は \( \omega_s = \frac{2\pi N_s}{60} = \frac{2\pi \cdot 120f}{60p} = \frac{4\pi f}{p} \) やから、極数 \( p \) が多いほど \( \omega_s \) が小さくなって、最大トルクは大きくなるんや。

③ 最大トルクは二次リアクタンスに反比例する

分母の \( x_2 \) が大きいほど最大トルクは小さくなる。リアクタンスは磁気エネルギーの蓄積に関係するから、「磁気エネルギーとして蓄えられる割合が大きいと、機械エネルギーへの変換効率が下がる」と理解できるで。

特に「\( V_1^2 \) に比例」は電験三種で頻出やで。「電圧が半分になったら最大トルクは？」→「\( (1/2)^2 = 1/4 \) になる」っていう計算がパッとできるようにしておこな。

ほな、\( T_{max} \) の式を使った問題を解いてみよか！

ここで、始動トルク \( T_{st} \) と最大トルク \( T_{max} \) の関係について整理しておくで。

始動時、すべりは \( s = 1 \) やったな。このとき始動トルクは、近似式に \( s = 1 \) を代入して、

一方、最大トルクは \( T_{max} = \frac{3V_1^2}{2\omega_s x_2} \) やった。

ここで、始動トルクと最大トルクの比を求めると、非常に便利な式が出てくるんや。

ここで \( s_m = \frac{r_2}{x_2} \) を使うと、分子分母を \( x_2^2 \) で割って整理できて、

この式はめちゃくちゃ便利やで。例えば \( s_m = 0.2 \) なら、

逆に \( s_m = 1 \)（つまり \( r_2 = x_2 \)）のとき、

これが巻線形誘導電動機で二次抵抗を挿入する理由の1つやで。外部抵抗を入れて \( s_m \) を大きくすれば、始動トルクを最大トルクに近づけることができるんや。この話は次回の第19講「比例推移」でもっと詳しくやるで。

ほな、始動トルクと最大トルクの比を使った問題を解いてみよか。

ここまでで \( s_m \) と \( T_{max} \) の基本は掴めたと思う。ここからはもうちょっと実践的な内容に入っていくで。

電験三種では、「任意のすべり \( s \) でのトルク \( T \) を \( T_{max} \) で表せ」という問題がよく出るんや。これを公式としてまとめておくと、めちゃくちゃ武器になるで。

トルクの近似式と最大トルクの式から比を取ると、次のようになるんや。

この式の導出を簡単に見ておこか。近似トルク式の分子分母を \( x_2^2 \) で整理すると、

この最終形 \( \frac{T}{T_{max}} = \frac{2}{\frac{s}{s_m} + \frac{s_m}{s}} \) はとても覚えやすい形や。分母は「\( s \) と \( s_m \) の比の和」になってるんやな。

ちゃんと辻褄が合うやろ？こういう「公式同士の整合性を確認する」作業は、電験の勉強でめちゃくちゃ大事やで。公式を丸暗記するんやなくて、式変形で導き出せるようにしておくと、試験中に公式を忘れても自分で再導出できるからな。

ほな、今の公式を使った計算問題やで！

ここまでの議論では、一次側のインピーダンスを無視した近似式を使ってきたな。実は、一次抵抗 \( r_1 \) を考慮すると、公式は少し変わるんや。

一次抵抗を含めた場合の最大トルク条件は、

そして最大トルクは、

せやけど、電験三種ではほとんどの場合、近似式（\( r_1 = 0 \)）で出題されるんや。理由は簡単で、近似式の方が計算がシンプルやし、本質的な物理が見えやすいからや。

ただ、たまに「一次抵抗を無視しない場合」として出題されることもあるから、こういう式もあるんやなーくらいは知っておくとええで。

近似式でも厳密式でも、「最大トルクの大きさが二次抵抗 \( r_2 \) に依存しない」という重要な性質は変わらへん。これは誘導機の本質的な特性やからな。

ここで知識の整理を兼ねて、正誤問題にチャレンジしてもらうで。

ほな、\( T_{max} \) を実際に計算する問題に挑戦してみよか！

ここで、電験三種での最大トルクの出題パターンを整理しておくで。このテーマは本当によく出るから、パターンを知っておくだけで得点力がグッと上がるんや。

特によくある間違いをまとめておくで。試験中にこれらの罠にハマらないように注意や。

❌ 間違い1：「二次抵抗を変えるとTmaxも変わる」

→ \( T_{max} \) の式に \( r_2 \) は入ってへん！変わるのは \( s_m \) だけやで。

❌ 間違い2：「電圧が半分なら最大トルクも半分」

→ 電圧の「2乗」に比例やから、半分なら \( (0.5)^2 = 0.25 \)、つまり4分の1やで。

❌ 間違い3：「smはx2に比例する」

→ \( s_m = r_2 / x_2 \) やから、\( x_2 \) には反比例する。「分母やから反比例」と覚えとき。

❌ 間違い4：「sm = r2 × x2」と覚えてしまう

→ 掛け算やなくて「割り算」やで。\( s_m = r_2 \div x_2 \) や。「抵抗をリアクタンスで割る」と口に出して覚えよ。

ほな、ちょっと総合的な問題にチャレンジしてもらうで！

ここで、今日学んだ最大トルク関連の公式を一覧にまとめておくで。

この3つが頭に入ってたら、最大トルクに関する問題はほぼ解けるで。ほな、最後の問題にいこか！

最後の問題や！今日の集大成、しっかりいこか！

お疲れさん！第18講、完走やで！🎉

今日は最大トルクについて徹底的にやったな。改めて、今日のポイントを振り返っておくで。

まず、最大トルクが発生するすべり \( s_m = \frac{r_2}{x_2} \) を導出した。これは二次回路の「抵抗成分とリアクタンス成分が等しくなる条件」やったな。

そして最大トルクの大きさ \( T_{max} = \frac{3V_1^2}{2\omega_s x_2} \) を求めて、二次抵抗 \( r_2 \) が含まれないことを確認した。これは「ピークの位置は動くけど、ピークの高さは変わらない」ということやったな。

さらに、始動トルクと最大トルクの比 \( \frac{T_{st}}{T_{max}} = \frac{2s_m}{s_m^2+1} \) や、任意のすべりでのトルク比 \( \frac{T}{T_{max}} = \frac{2}{\frac{s}{s_m}+\frac{s_m}{s}} \) という実戦的な公式も学んだ。

これらの公式は、次回の「比例推移」の理解にもそのままつながるで。今日やった内容をしっかり定着させておいてな。