トルクの基本式とは？T=kΦIaの導出をわかりやすく解説【電験三種 機械】

まず「トルク」って何やねん？ってところからしっかり押さえるで。

トルクっていうのは、簡単に言えば「回転させる力」のことや。正式には「力のモーメント」とか「回転力」とも呼ばれるな。単位はニュートン・メートル [N·m] や。

たとえば、ドアを開けるとき、ドアノブに力を加えるやろ？このとき、ヒンジ（蝶番）を中心にドアを回転させてるわけや。この「回転させる能力」がトルクなんや。

トルクの基本的な定義式はこうなるで。

力 \( F \) が大きいほど、そして回転軸からの距離 \( r \) が大きいほど、トルクは大きくなる。これはスパナでボルトを締めるとき、スパナの柄が長い方が楽に締められるのと同じ原理やで。

ほんで大事なのは、トルクと回転速度は独立した概念やということ。トルクが大きくても回転速度が遅いこともあるし、逆にトルクが小さくても高速で回ることもある。この2つの関係は後で「出力」の話をするときに詳しくやるで。

ほな次は、直流電動機の中でどうやってトルクが生まれるのか、その仕組みを見ていこか。

さあ、ここからが本題や。直流電動機の中でトルクが生まれる仕組みを見ていくで。

第2講で学んだフレミングの左手の法則を覚えてるか？磁界の中に置かれた導体に電流を流すと、導体に力が働くんやったな。これが電動機の動作原理や。

直流電動機の内部では、界磁が作る磁束密度 \( B \) [T] の中に、電機子の導体が置かれてるんや。この導体に電流 \( i \) [A] を流すと、1本の導体に働く力は次の式で求まる。

図を見てみ。N極からS極に向かう磁束の中に、電機子の導体が置かれてるやろ？上側の導体と下側の導体には逆向きの電流が流れるから（コイルやからな）、フレミングの左手の法則で逆向きの力が働くんや。

上側の導体は上向きに押され、下側の導体は下向きに押される。この2つの力が組み合わさって、電機子全体を一方向に回転させるトルクが生まれるんや。これが直流電動機のトルクの正体やで。

ここで大事なポイントは、導体は1本だけやないということや。電機子には \( Z \) 本の導体があって、それぞれが力を受ける。全体のトルクは、1本あたりの力 × 導体の数に比例するんやで。

ほな次のステップで、この考え方を使って実際にトルクの式を導出していこか！

いよいよトルクの基本式の導出や！ここが今回のクライマックスやで。一つずつ丁寧にいくから、ついてきてな。

まず、前のステップで見たように、1本の導体に働く力は \( f = Bil \) やった。ここから全体のトルクを求めていくで。

出てきたで！ \( \frac{pZ}{2\pi a} \) の部分は機械の構造で決まる定数やから、これをトルク定数 \( k_T \) と置くと...

これが直流電動機のトルクの基本式や！めちゃくちゃシンプルやろ？

この式が言うてることは明快や。トルクは磁束 \( \Phi \) と電機子電流 \( I_a \) の両方に比例するんや。つまり、磁石が強いほど、電流が多いほど、強いトルクが出る。直感にも合う結果やな。

ちなみに、第10講で学んだ誘導起電力の式 \( E = k\Phi n \) の定数 \( k = \frac{pZ}{60a} \) と、トルク定数 \( k_T = \frac{pZ}{2\pi a} \) には密接な関係があるんやで。これについては後のステップで触れるから楽しみにしとき。

ほな、ここまでの理解を確認する問題にいこか！

さて、トルクの式 \( T = k_T \Phi I_a \) が出てきたところで、トルク定数 \( k_T \) についてもう少し深掘りしておこか。

トルク定数は \( k_T = \frac{pZ}{2\pi a} \) やったな。この中身を見てみると：

・\( p \)：極数（磁極の数。2極なら2、4極なら4）

・\( Z \)：全導体数（電機子に巻かれた導体の総数）

・\( a \)：並列回路数（重ね巻なら \( a = p \)、波巻なら \( a = 2 \)）

・\( 2\pi \)：回転運動の幾何学的な定数

全部、機械を設計した時点で決まる値やな。運転中に変わるもんやない。せやから「定数」なんや。

ここでめっちゃ大事な話をするで。第10講で学んだ誘導起電力の式を覚えてるか？

この起電力定数 \( k = \frac{pZ}{60a} \) とトルク定数 \( k_T = \frac{pZ}{2\pi a} \) を比べてみ。\( pZ \) と \( a \) は同じで、違うのは分母の \( 60 \) と \( 2\pi \) だけや。実は：

つまり、トルク定数と起電力定数は \( \frac{60}{2\pi} \) 倍の関係にあるんや。これは、起電力の式で回転速度が [min⁻¹] を使ってるのに対して、トルクの式では角速度 [rad/s] との関係があるからなんやで。この関係は次のステップでさらに明確になるで。

ここで超重要な関係式を紹介するで。出力とトルクの関係や。

物理で習った話を思い出してみ。回転する物体の機械的出力（パワー）は、トルクと角速度の積で表されるんや。

ここで \( \omega = \frac{2\pi n}{60} \) は、回転速度 \( n \) [min⁻¹] を角速度 \( \omega \) [rad/s] に変換する式や。1回転は \( 2\pi \) ラジアン、\( n \) は1分あたりの回転数やから、60で割って1秒あたりにしてるんやな。

ほんで、ここからが面白いところや。この出力の式と、電動機の電気的な関係を結びつけてみるで。

電動機の内部で電気エネルギーが機械エネルギーに変換される部分を考えると、逆起電力 \( E \) と電機子電流 \( I_a \) の積が電気から機械への変換電力になるんや。

つまり、\( P = \omega T = E I_a \) が成り立つんや。ここから \( T \) を求めると：

\[ T = \frac{E I_a}{\omega} = \frac{k\Phi n \times I_a}{\frac{2\pi n}{60}} = \frac{k \times 60}{2\pi} \Phi I_a = k_T \Phi I_a \]

おお！\( P = \omega T = EI_a \) からも、\( T = k_T \Phi I_a \) が導かれた！ステップ4で力学的に導いた式と一致するで！

この \( P = E I_a \) の関係はめちゃくちゃ重要やで。電験三種でも「逆起電力と電機子電流から出力を求め、そこからトルクを計算する」っていう問題がよく出るんや。しっかり覚えとき！

ここで一歩引いて、電動機のエネルギー変換の全体像を整理しとこか。トルクの式が全体のどこに位置するか見えてくると、理解がグッと深まるで。

直流電動機には電源から電力が入ってくるやろ？その電力がどうなるかを追いかけてみよう。

この図で全体の流れを見てみ。

電源から入ってくる入力電力は \( P_{in} = V I_a \) や。このうち、電機子抵抗で \( I_a^2 R_a \) の銅損（ジュール熱）が失われる。残りが変換電力 \( P = E I_a \) で、これが電気エネルギーから機械エネルギーへ変換される部分やねん。

この変換電力こそが \( P = EI_a = \omega T \) であり、トルクの源泉なんや。そして変換電力からさらに鉄損と機械損が差し引かれて、最終的な機械的出力 \( P_{out} \) が軸から取り出されるんやで。

最後の行に注目してみ。エネルギーの式から \( V = E + I_a R_a \) が出てくるやろ？これは前回学んだ電動機の基本式やんか！エネルギー保存の法則とキルヒホッフの電圧則が、ちゃんと整合してるんやで。美しいやろ？

ほな、ここで注意点がある。電験三種の問題では「トルク」と言ったとき、変換電力から求まるトルク（電磁トルク）を指す場合と、実際の軸出力から求まるトルク（軸トルク）を指す場合があるんや。問題文をよく読んで、どちらを聞かれてるか判断することが大事やで。

ここからは、トルクの式を使って電動機の動作を読み解く練習をしていくで。

トルクの式 \( T = k_T \Phi I_a \) を見ると、トルクは \( \Phi \)（磁束）と \( I_a \)（電機子電流）に比例するんやった。じゃあ、実際の電動機ではどういうことが起こるか考えてみよか。

電動機が何かの負荷を回してるとする。ベルトコンベアでもポンプでも何でもええで。ここで負荷が急に重くなったとするやろ。そのとき何が起こる？

負荷が重くなると、電動機は減速しようとする。減速すると逆起電力 \( E = k\Phi n \) が小さくなるやろ？ \( n \) が下がるからな。すると \( V = E + I_a R_a \) の式から、\( E \) が小さくなった分だけ \( I_a \) が増えるんや。

\[ I_a = \frac{V - E}{R_a} = \frac{V - k\Phi n}{R_a} \]

\( I_a \) が増えると、\( T = k_T \Phi I_a \) からトルクも増える。トルクが増えれば重い負荷にも対抗できるようになる。こうやって電動機は自動的に負荷に応じたトルクを発生するんや！

この「負荷が変わると電流が自動調整される」という仕組みは、電動機を理解する上でめちゃくちゃ大事なポイントや。第18講で学ぶ回転速度の特性にも直結するから、しっかり理解しとくんやで。

さて、ここからは励磁方式によるトルク特性の違いを見ていくで。まずは分巻電動機からや。

第8講で学んだとおり、分巻電動機では界磁巻線が電機子と並列に接続されてるんやった。端子電圧が一定なら、界磁巻線に流れる電流 \( I_f \) も一定。ということは磁束 \( \Phi \) がほぼ一定になるんや。

磁束が一定なら、トルクの式はどうなるか見てみ。

つまり、分巻電動機ではトルクと電機子電流が直線的な関係にあるんや。電流を2倍にすれば、トルクも2倍。シンプルやな。

グラフを見ると、原点を通る直線になるのがわかるやろ？これが分巻電動機のトルク特性の特徴や。負荷に対して予測しやすいから、一定速度が求められる工作機械や送風機なんかに使われるんやで。

次のステップでは、直巻電動機のトルク特性を見るで。こっちは分巻とは全然違う特性になるから面白いで！

ほな次は直巻電動機のトルク特性を見てみよう。これが分巻とは全く違う、面白い特性を示すんや。

直巻電動機では、界磁巻線が電機子と直列に接続されてる。せやから、界磁電流 = 電機子電流（\( I_f = I_a \)）になるんやったな。

磁気飽和しない範囲では、磁束は界磁電流に比例するから \( \Phi \propto I_f = I_a \) や。これをトルクの式に代入すると...

なんと、トルクが電流の2乗に比例するんや！電流が2倍になれば、トルクは4倍になる。分巻の2倍とは大違いやな。

グラフを見比べてみ。直巻電動機は低速・大電流のとき非常に大きなトルクを出せるんや。せやから、電車やクレーン、エレベーターなど始動時に大きなトルクが必要な用途にピッタリなんやで。

ただし注意点がある。磁気飽和すると \( \Phi \) が \( I_a \) に比例しなくなるから、大電流では放物線から外れて緩やかなカーブになるんや。

よっしゃ、ここでトルク計算の実践テクニックを整理しとくで。電験三種でよく出るパターンや。

トルクの求め方は大きく2つあるんや。

実際の試験問題では方法①が圧倒的に多い。なぜなら、\( E \)、\( I_a \)、\( n \) は問題文で与えられやすいけど、\( p \)、\( Z \)、\( a \) まで全部与えられることは少ないからや。

方法①のコツは、手順を3ステップで覚えることや。

この3ステップさえ覚えとけば、ほとんどのトルク計算問題は解けるで。ただし「軸トルク」を聞かれた場合は、変換電力から鉄損・機械損を引いた後の出力で計算する必要があるから注意やで。

ほんで、もう一つ便利な関係式を紹介しとくな。トルクの比を使う方法や。

同じ電動機の2つの運転条件を比較するとき、この比の式を使うと \( k_T \) が約分されて簡単に解けるんやで。

よっしゃ、ここで第17講の総まとめをしておくで。今回は盛りだくさんやったから、しっかり整理しよう。

今回学んだ内容で特に大事なのは、次の3つのつながりや。

第一に、トルクの物理的意味。導体に流れる電流と磁束が力を生み、それが回転トルクになる。フレミングの左手の法則の応用やったな。

第二に、エネルギー変換のつながり。入力電力 \( VI_a \) から銅損を引いた \( EI_a \) が変換電力で、これが \( \omega T \) に等しい。前回学んだ逆起電力の式 \( V = E + I_a R_a \) と完全に整合してるんやったな。

第三に、励磁方式によるトルク特性の違い。分巻と直巻でトルクの電流依存性が全然違う。この違いが、それぞれの電動機の用途を決めるんやで。

ほな、最後の問題にチャレンジしよう！

お疲れさま！第17講「トルクの基本式」、完走やで！🎉

今回は、直流電動機が「どれだけ力強く回るか」を決めるトルクの基本式 \( T = k_T \Phi I_a \) を、物理的な意味から丁寧に導出したな。

さらに、出力との関係 \( P = \omega T = E I_a \) を学んで、エネルギー変換の全体像も見えてきたはずや。トルク計算の3ステップ（① E求める → ② P求める → ③ T求める）は電験三種の頻出パターンやから、しっかり練習しとくんやで。

分巻と直巻のトルク特性の違い（\( T \propto I_a \) vs \( T \propto I_a^2 \)）も、今後の電動機の特性を学ぶうえで基礎になるから忘れんといてな。