逆起電力とは？直流電動機の式と意味を図解で解説【電験三種 機械】

まずは、逆起電力の式を等価回路からきちんと導出しよか。

直流電動機の電機子回路を等価回路で表すと、3つの要素が直列に並んでる形になるんや。外部から加える端子電圧 V、電機子巻線の抵抗 R_a、そして回転によって生じる逆起電力 E。この3つや。

この回路にキルヒホッフの電圧則（KVL）を適用してみ。ループを一周すると、電圧の上がりと下がりが等しくなるはずやな。電源Vが電圧を「上げて」、抵抗R_aでの電圧降下I_aR_aと逆起電力Eが電圧を「下げる」。せやから：

これをEについて解くと：

これが今回の主役、逆起電力の基本式や！

ここで大事なのは、この式の意味を「ただの数式」やなくて「物理的に」理解することや。端子電圧Vの一部がR_aでの電圧降下（銅損）に使われて、残りが逆起電力Eになる。つまりEは「端子電圧のうち、実際に機械的エネルギーに変換される部分の指標」なんや。

ほな、式の各項をもう少し丁寧に見ていこか。E = V - I_aR_a の3つの項、それぞれに重要な物理的意味があるんや。

まず端子電圧 V。これは外部電源から電動機に供給される電圧や。電源のスイッチを入れたらこの電圧が電動機の端子にかかる。通常は一定値で、100Vとか200Vとか、決まった値が与えられることが多い。

次に電機子電流 I_a と電機子抵抗 R_a。I_aR_aは電機子巻線での電圧降下や。電機子巻線は銅線やから抵抗があって、電流が流れると必ず電圧降下が生じる。この降下分は「銅損」として熱になってしまう。つまり、有効な仕事には使われへんで消えてしまうエネルギーなんや。

ここで重要なポイントがあるで。R_aの値は非常に小さいんや。電機子巻線は太い銅線を何回も巻いてあるけど、それでも0.1Ω〜数Ωくらいの値しかないことが多い。これは意図的にそうしてるんや。もしR_aが大きかったら、I_aR_aが大きくなって、Eが小さくなってしまう。つまり「経費ばっかりかかって利益が少ない」状態になってまうからな。

最後に逆起電力 E。これは電動機が回転することで電機子巻線に誘導される起電力や。第10講で学んだ \( E = k\Phi n \) を思い出してみ。磁束Φの中で速度nで回転するから起電力が発生する。この起電力は電源電圧Vに逆らう向きに発生するから「逆起電力」って呼ぶんやったな。

この3つの関係を頭に入れたら、次のステップでは数値を使った具体的な計算に進むで。実際にどれくらいの値になるか、見てみよか。

ほな、具体的な数値を使って逆起電力の式を体感してみよか。

たとえば、端子電圧 \( V = 200 \) V、電機子抵抗 \( R_a = 0.5 \) Ω、電機子電流 \( I_a = 20 \) A の電動機があったとする。

ほら見てみ。200Vの電源電圧のうち、R_aでの電圧降下はたったの10V。残りの190Vが逆起電力や。つまり、電源が供給する電圧の95%が有効に使われてるということやな。

これは偶然やないで。さっき言うた通り、R_aは設計上わざと小さくしてあるから、I_aR_aの割合は小さくなるんや。実際の電動機でも、定格運転時にはE ≈ 0.9V 〜 0.95Vくらいになることが多い。

ここでもう一つ大事なことを確認しとこ。電機子電流I_aは何で決まるか？を式から読み取れるで。

\( E = V - I_a R_a \) を I_a について解くと：

この式がめちゃくちゃ重要や！電機子電流は「VとEの差」で決まるんや。VとEが近ければ電流は小さく、差が大きければ電流は大きくなる。

たとえば始動時（\( n = 0 \)）は \( E = k\Phi n = 0 \) やから、\( I_a = \frac{V - 0}{R_a} = \frac{V}{R_a} \) になって超大電流が流れる。前回学んだ始動電流の問題は、まさにこの式から来てるんやで。

さあ、ここまでの理解を問題で確認してみよか！

ここで、発電機の式と電動機の式を並べて比較してみよう。これは電験で超頻出の比較ポイントやで。

第11講で学んだ発電機の等価回路の式は \( V = E - I_a R_a \) やったな。これは「起電力Eから電圧降下を引いたものが端子電圧Vになる」という意味やった。

一方、電動機は \( V = E + I_a R_a \) 、つまり \( E = V - I_a R_a \) や。「端子電圧Vの一部がR_aでの降下に使われ、残りが逆起電力Eになる」っていう意味やったな。

ポイントは「大小関係」や。発電機では \( E > V \) で、電動機では \( V > E \) になる。

なんでかというと、発電機は起電力Eが「電圧の源」で、そこからR_aでの降下を引いた残りが端子電圧Vとして外に出る。一方、電動機は端子電圧Vが「電圧の源」で、R_aでの降下を差し引いた残りが逆起電力Eになる。エネルギーの流れる向きが逆やから、EとVの大小関係も逆になるんや。

ここで、逆起電力の式から電力バランスを導出するで。これは試験で「電力」や「効率」を求める問題の基礎になるから、めちゃくちゃ大事や。

\( V = I_a R_a + E \) の両辺に \( I_a \) を掛けてみ：

左辺の \( V I_a \) は電源から電機子回路に供給される電気的入力やな。これが2つの項に分かれるんや：

ここで注意してほしいんやけど、\( E I_a \) は「内部機械出力」であって、実際に軸から取り出せる「軸出力」とはちょっと違うで。軸出力を求めるには、\( E I_a \) からさらに鉄損や機械損（ベアリングの摩擦とか風損とか）を引かなあかん。ただ、電験の問題では「鉄損・機械損は無視する」って条件が付くことも多いから、その場合は \( EI_a \) がそのまま軸出力になるで。

さて、先ほどの数値例で電力バランスを確認してみよか。V = 200 V、I_a = 20 A、E = 190 V やったから：

ほら、ちゃんと辻褄が合うやろ。4000Wの入力のうち、200Wが熱になって、3800Wが回転力になってるんや。

ここで、もう少し現実に近い式を紹介するで。実際の直流機にはブラシがあるやろ？第5講で学んだ、整流子に接触して電流を取り出す部品や。

ブラシと整流子の接触部分には接触抵抗があって、ここでも電圧降下が発生するんや。これをブラシ電圧降下（ブラシ接触降下）と呼ぶ。

ブラシ電圧降下の特徴は、電流の大きさにあまり関係なくほぼ一定値になることや。これは接触抵抗が非線形（電流が大きくなっても抵抗が下がる）やからなんやけど、試験では「ブラシ1個あたり \( v_b \) V」という形で与えられることが多い。

電機子回路にはブラシが正極側と負極側の2箇所あるから、ブラシ電圧降下の合計は \( 2v_b \) になる。炭素ブラシの場合、1個あたり約1Vで、合計約2Vが典型的な値やで。

これを含めると、電動機の式はこうなる：

さっきの例で計算してみよか。V = 200 V、I_a = 20 A、R_a = 0.5 Ω、ブラシ1個あたり1Vとすると：

ブラシ降下なしの190Vに比べて2V小さくなったな。割合としては小さいけど、試験で「ブラシ電圧降下を考慮する」と書いてあったら必ず引かなあかんで。逆に、「ブラシの電圧降下は無視する」と書いてあったら、この項は省略してOKや。

さて、ここからは励磁方式ごとの回路計算に入るで。まずは電験で最も頻繁に出る分巻電動機からや。

分巻電動機では、界磁巻線が電機子と並列に接続されてるんやったな（第8講で学んだ内容）。ここで重要なのは、電源から流れ込む電流（線電流 I）と電機子電流 I_aが違うということや！

分巻電動機では、電源から流れ込む線電流 I が分岐点で2つに分かれるんや。一つは界磁巻線に流れる界磁電流 I_f、もう一つは電機子に流れる電機子電流 I_a。キルヒホッフの電流則（KCL）から：

そして界磁電流は \( I_f = \frac{V}{R_f} \) で求まる。界磁巻線は電源に並列やから、そのまま端子電圧Vを界磁抵抗R_fで割ればOKや。

ここが超重要ポイントやで！分巻電動機の計算問題で「電機子電流」を求めるとき、線電流Iがそのまま電機子電流やと思ったらアカンのや。必ず界磁電流を引く必要がある。ここは本当に間違えやすいから、注意してな。

次は直巻電動機の場合を見てみよう。直巻は分巻と違って、界磁巻線が電機子と直列に接続されてるんやったな。

直列ということは、界磁巻線にも電機子にも同じ電流が流れるんや。つまり \( I = I_a = I_f \) やで。分巻のように電流を分ける必要がないから、その点ではシンプルやな。

ただし、直巻の場合は界磁巻線の抵抗 \( R_f \) も電機子回路に入ってくるから、逆起電力の式がちょっと変わるんや。

分巻との違いを整理すると：

直巻電動機のもう一つの大きな特徴は、磁束Φが電機子電流I_aに比例するということや。\( \Phi \propto I_a \) やで。界磁巻線に電機子電流がそのまま流れるから、電流が大きいと磁束も強くなり、電流が小さいと磁束も弱くなる。

この「Φ ∝ I_a」の性質が、直巻電動機に独特の速度-トルク特性を与えるんや。これについては後の講座（第21講）で詳しくやるから、今は「直巻は回路計算のときにR_fも足す」ということをしっかり覚えといてな。

分巻と直巻の回路計算を両方学んだところで、比較問題にチャレンジしてみよか。

ここまでの計算力が身についたところで、逆起電力の式の最も重要な応用を見ていくで。それは回転速度との関係や。

第10講で学んだ起電力の式を思い出してみ。\( E = k\Phi n \) やったな。k は機械定数、Φは磁束、nは回転速度 [min^-1]。この式は発電機でも電動機でも成り立つで。

ほんで、電動機の逆起電力は \( E = V - I_a R_a \) でもある。この2つの式を組み合わせると：

これを n について解くと：

これがめちゃくちゃ重要な式や！この式から、回転速度を変える3つの方法が読み取れるんや：

① 端子電圧 V を変える：Vを大きくすると分子が大きくなるから、速度nが上がる。これが「電圧制御」の原理やで。

② 磁束 Φ を変える：Φを小さくすると分母が小さくなるから、速度nが上がる。Φを弱くすると速くなるって、ちょっと不思議やろ？これが「界磁制御」の原理や。

③ 電機子回路の抵抗を変える：外部から抵抗 \( R_{ext} \) を追加すると、分子の \( V - I_a(R_a + R_{ext}) \) が小さくなって速度が下がる。これが「抵抗制御」の原理や。

速度制御の詳細は第24講でじっくりやるけど、今の段階で「逆起電力の式から速度の式が導ける」ということを押さえておいてな。次の問題で、この速度の式を使った計算をやってみよう。

さあ、回転速度と逆起電力を使った計算問題や。この形式は電験でも頻出やで！

よっしゃ、ここまでの内容を総まとめするで！

この第16講では、逆起電力の式 \( E = V - I_a R_a \) を徹底的に掘り下げたな。最初に等価回路からKVLで導出して、各項の物理的意味を理解した。次に電力バランスを学んで、ブラシ電圧降下の扱いを覚えた。さらに分巻と直巻の回路計算の違いを学んで、最後に回転速度との関係まで到達した。

最後に、今日学んだ内容を全部使った総合問題にチャレンジしてみよか！

お疲れさま！第16講、完走や！🎉

今回は \( E = V - I_a R_a \) というたった一つの式から、ものすごくたくさんのことを学んだな。この式は直流電動機の「万能ナイフ」みたいなもんで、逆起電力の計算、電流の計算、電力バランス、回転速度...何にでも使えるんや。

特に覚えておいてほしいのは：

① 式の物理的意味：端子電圧の「残り」が逆起電力になるということ。売上から経費を引いた利益のイメージやったな。

② 分巻と直巻の違い：分巻では I_a ≠ I（界磁電流を引く必要がある）。直巻では R_f も合算する。この使い分けは試験で差がつくポイントやで。

③ 速度の式への展開：\( n = (V - I_a R_a)/(k\Phi) \) は、速度制御の3方法の根拠になる重要な式や。