【電力】令和6年(上期) 問4｜質量欠損から求める核エネルギーの換算に関する計算問題
\( 1 \) [g] のウラン \( 235 \) が核分裂し，\( 0.09 \) [%] の質量欠損が生じたとき，発生するエネルギーを石炭に換算した値 [kg] として，最も近いものを次の (1)～(5) のうちから一つ選べ。
ただし，石炭の発熱量を \( 25\,000 \) [kJ/kg] とする。
合格への方程式
核分裂エネルギーの基礎知識
原子力発電の根幹となる核分裂反応について、電験三種で必要な知識を基礎から学んでいきましょう。核分裂で発生するエネルギーがいかに巨大かを理解することが重要です。
核分裂とは何か？
重い原子核（ウラン235など）が中性子を吸収して、2つ以上の軽い原子核に分裂する現象です。このとき、質量の一部がエネルギーに変換されます。
- 分裂前の質量 ＞ 分裂後の質量の合計
- 失われた質量（質量欠損）→ 膨大なエネルギーに変換
- 1gのウラン235 ≈ 石炭3トン分のエネルギー！
核分裂反応の仕組み
身近な例で理解する核分裂
核分裂を水風船で例えてみましょう：
- 大きな水風船（ウラン235）に小石（中性子）を投げる
- 水風船が不安定になって破裂
- 2つの小さな水風船（核分裂生成物）と水しぶき（中性子2～3個）が飛び散る
- このとき、水の一部が蒸発（質量欠損）してエネルギーになる
ウラン235の核分裂反応式
\[ {}^{235}_{92}\mathrm{U} + {}^{1}_{0}n \rightarrow \text{核分裂生成物} + 2\sim3 \times {}^{1}_{0}n + \text{エネルギー} \]| 項目 | 分裂前 | 分裂後 | 差分 |
|---|---|---|---|
| 質量数の合計 | 236 | 236 | 0（保存） |
| 原子番号の合計 | 92 | 92 | 0（保存） |
| 実際の質量 | 236.05u | 235.84u | 0.21u（質量欠損） |
質量欠損率について
ウラン235の核分裂では、一般的に約0.09%の質量が失われます。
- 1gのウラン235 → 0.0009g（0.9mg）が消失
- たった0.9mgの質量が巨大なエネルギーに！
エネルギーの比較
化学反応 vs 核反応のエネルギー比較
| 反応の種類 | 1gあたりのエネルギー | 比率 | 例 |
|---|---|---|---|
| 石炭の燃焼 | 25 kJ | 1 | C + O₂ → CO₂ |
| ガソリンの燃焼 | 45 kJ | 1.8 | 炭化水素の酸化 |
| TNT爆薬 | 4,600 kJ | 184 | 爆発的酸化反応 |
| ウラン235核分裂 | 8.1×10⁷ kJ | 3,240,000 | 質量→エネルギー変換 |
核分裂の連鎖反応
1回の核分裂で2～3個の中性子が放出され、これらが次のウラン235に衝突して連鎖的に反応が続きます。
臨界状態の理解
- 臨界（k=1）：連鎖反応が一定速度で継続（原子炉の定常運転）
- 未臨界（k＜1）：連鎖反応が減衰（原子炉停止）
- 超臨界（k＞1）：連鎖反応が加速（出力上昇または核爆発）
核燃料の濃縮度
| 用途 | ウラン235濃縮度 | 特徴 |
|---|---|---|
| 天然ウラン | 0.7% | そのままでは軽水炉で使用不可 |
| 軽水炉燃料 | 3～5% | 日本の原発で使用 |
| 研究炉燃料 | 20%程度 | 高出力密度が必要 |
| 核兵器 | 90%以上 | 高濃縮ウラン（HEU） |
質量とエネルギーの等価性（E=mc²）
アインシュタインの特殊相対性理論から導かれる質量・エネルギー等価原理は、電験三種でも重要な公式です。この原理を深く理解しましょう。
E=mc²の意味
\[ E = mc^2 \]- \( E \)：エネルギー [J]
- \( m \)：質量 [kg]
- \( c \)：光速 = \( 3.0 \times 10^8 \)[m/s]
質量とエネルギーは本質的に同じもので、相互に変換可能です！
なぜc²なのか？
光速の2乗の意味を理解する
\( c^2 = (3.0 \times 10^8)^2 = 9.0 \times 10^{16} \) [m²/s²]
この巨大な数値が、わずかな質量から膨大なエネルギーを生み出す理由です。
- 1kgの質量 = \( 9.0 \times 10^{16} \) Jのエネルギー
- これは広島原爆の約2000倍のエネルギー！
質量欠損の計算
核反応では、反応前後で質量が減少します。この減少分が質量欠損です。
\[ \Delta m = m_{\text{反応前}} - m_{\text{反応後}} \]単位変換の重要性
計算時は単位に注意！特に以下の変換をマスターしましょう：
- 1 g =\( 1 \times 10^{-3} \) kg
- 1 mg = \( 1 \times 10^{-6} \) kg
- 1 J = \( 1 \times 10^{-3} \) kJ
- 1 MJ = \( 1 \times 10^{3} \) kJ
具体的な計算例
1mgの質量欠損から得られるエネルギー
\[ \begin{aligned} E &= \Delta m \times c^2 \\[10pt] &= 1 \times 10^{-6} \times (3.0 \times 10^8)^2 \\[10pt] &= 1 \times 10^{-6} \times 9.0 \times 10^{16} \\[10pt] &= 9.0 \times 10^{10} \text{ J} \\[10pt] &= 9.0 \times 10^{7} \text{ kJ} \end{aligned} \]たった1mgで9000万kJ！これは一般家庭の約3年分の電力消費量に相当します。
質量欠損が起こる理由
結合エネルギーの解放
原子核内の核子（陽子と中性子）は、強い核力で結合しています。この結合エネルギーが質量として現れているのです。
核子あたりの結合エネルギー
| 原子核 | 質量数 | 核子あたりの結合エネルギー [MeV] | 安定性 |
|---|---|---|---|
| 水素-2（重水素） | 2 | 1.1 | 低い |
| ヘリウム-4 | 4 | 7.1 | 高い |
| 鉄-56 | 56 | 8.8（最大） | 最も安定 |
| ウラン-235 | 235 | 7.6 | 不安定 |
なぜ鉄が最も安定なのか？
- 鉄より軽い元素：核融合でエネルギー放出
- 鉄より重い元素：核分裂でエネルギー放出
- 鉄-56が「エネルギーの谷底」にある
相対論的効果の実例
日常生活での質量・エネルギー変換
| 現象 | 質量変化 | 備考 |
|---|---|---|
| スマホの充電 | +10⁻¹⁶ kg | 測定不可能なほど微小 |
| 1kgの水を100℃加熱 | +5×10⁻¹² kg | エネルギー増加=質量増加 |
| 原子爆弾（広島型） | -0.7 g | たった0.7gで都市壊滅 |
エネルギー単位の換算
電験三種でよく使う単位換算
- 1 eV = \( 1.602 \times 10^{-19} \) J
- 1 MeV = \( 1.602 \times 10^{-13} \) J
- 1 kWh = \( 3.6 \times 10^{6} \)J = 3600 kJ
- 1 cal = 4.184 J
計算方法と解法テクニック
電験三種の核分裂エネルギー問題を確実に解くための計算手順とコツを詳しく解説します。
問題を解く基本ステップ
- 与えられた数値と求める値を整理
- 単位を統一（特にkg単位に注意）
- 質量欠損を計算
- E=mc²でエネルギーを計算
- 比較対象との換算
本問題の詳細解法
Step 1：与えられた情報の整理
- ウラン235の質量：1 g = \( 1 \times 10^{-3} \)kg
- 質量欠損率：0.09%
- 光速：\( c = 3.0 \times 10^8 \)m/s
- 石炭の発熱量：25,000 kJ/kg
Step 2：質量欠損の計算
\[ \begin{aligned} \Delta m &= 1 \times 10^{-3} \times \frac{0.09}{100} \\[10pt] &= 1 \times 10^{-3} \times 9.0 \times 10^{-4} \\[10pt] &= 9.0 \times 10^{-7} \text{ kg} \end{aligned} \]計算のコツ：指数表記の活用
0.09% = \( \frac{0.09}{100} = 9.0 \times 10^{-4} \) と変換すると計算が楽になります。
Step 3：核分裂エネルギーの計算
\[ \begin{aligned} E &= \Delta m \times c^2 \\[10pt] &= 9.0 \times 10^{-7} \times (3.0 \times 10^8)^2 \\[10pt] &= 9.0 \times 10^{-7} \times 9.0 \times 10^{16} \\[10pt] &= 81 \times 10^{9} \text{ J} \\[10pt] &= 8.1 \times 10^{10} \text{ J} \end{aligned} \]Step 4：単位変換（J → kJ）
\[ E = 8.1 \times 10^{10} \text{ J} = 8.1 \times 10^{7} \text{ kJ} \]Step 5：石炭換算量の計算
\[ \begin{aligned} \text{石炭量} &= \frac{\text{核分裂エネルギー}}{\text{石炭の発熱量}} \\[10pt] &= \frac{8.1 \times 10^7}{25,000} \\[10pt] &= \frac{8.1 \times 10^7}{2.5 \times 10^4} \\[10pt] &= 3.24 \times 10^3 \\[10pt] &= 3,240 \text{ kg} \end{aligned} \]選択肢から答えを選ぶコツ
3,240 kg ≈ 3,200 kg なので、答えは (4) です。
電験三種では「最も近いもの」を選ぶので、厳密な値でなくても大丈夫！
よくある計算ミスと対策
| ミスの種類 | 間違い例 | 正しい方法 |
|---|---|---|
| 単位変換忘れ | 1 g をそのまま使用 | 必ず kg に変換 |
| %の計算ミス | 0.09% → 0.09 | 0.09% → 0.0009 |
| 指数計算ミス | \( (3 \times 10^8)^2 = 3 \times 10^{16} \) | \( (3 \times 10^8)^2 = 9 \times 10^{16} \) |
| J → kJ変換 | \( 10^{10} \) J = \( 10^{10} \) kJ | \( 10^{10} \) J = \( 10^{7} \) kJ |
簡略計算法
概算で素早く解く方法
試験時間を節約するための概算テクニック：
- 質量欠損：1g × 0.001 ≈ \( 10^{-6} \)kg
- エネルギー：\( 10^{-6} \times 10^{17} = 10^{11} \) J
- kJ変換：\( 10^{11} \) J = \( 10^{8} \) kJ
- 石炭換算：( \frac{10^8}{2.5 \times 10^4} = 4 \times 10^3 \) kg
概算でも3,000～4,000 kgの範囲に収まり、選択肢から正解を導けます。
類題パターンと対策
電験三種でよく出るパターン
| 出題パターン | ポイント | 注意点 |
|---|---|---|
| 石炭・石油換算 | 発熱量の比較 | 単位（kJ/kg）確認 |
| 電力量換算 | kWhへの変換 | 1kWh = 3600kJ |
| 核燃料消費量 | 年間消費量計算 | 設備利用率考慮 |
| 核分裂回数 | アボガドロ数使用 | \( 6.02 \times 10^{23} \) |
検算方法
答えの妥当性チェック
- オーダー確認：1gのウラン ≈ 数トンの石炭は妥当
- 選択肢の間隔：32, 320, 1600, 3200, 6400と10倍や2倍の関係
- 指数計算の確認：\( 10^{-7} \times 10^{16} = 10^9 \)
原子力発電の実際と応用知識
電験三種では、核分裂エネルギーの計算だけでなく、実際の原子力発電所での応用も理解しておく必要があります。
原子力発電所の基本構成
PWR（加圧水型原子炉）の仕組み
日本の原発の約6割を占めるPWRの特徴：
- 一次系：原子炉内の高圧水（約15.5MPa、320℃）
- 蒸気発生器：一次系と二次系の熱交換
- 二次系：タービンを回す蒸気（約6.9MPa、280℃）
- 放射能は一次系に閉じ込められる
核燃料の実際の利用
| 項目 | 数値 | 説明 |
|---|---|---|
| 燃料集合体 | 193体（100万kW級） | 原子炉1基あたり |
| ウラン装荷量 | 約90トン | 濃縮ウラン総量 |
| 年間消費量 | 約30トン | 1/3ずつ交換 |
| 燃焼度 | 45,000～55,000 MWd/t | トンあたりの発生エネルギー |
実際の発電量計算
100万kW原発の年間発電量
\[ \begin{aligned} \text{年間発電量} &= 1,000,000 \text{ kW} \times 365 \times 24 \text{ h} \times 0.8 \\[10pt] &= 7.0 \times 10^9 \text{ kWh} \\[10pt] &= 2.52 \times 10^{13} \text{ kJ} \end{aligned} \]（設備利用率80%として）
この発電量に必要な燃料比較
| 燃料種類 | 必要量 | 輸送 | CO₂排出 |
|---|---|---|---|
| 濃縮ウラン | 30トン/年 | トラック数台 | 0（運転時） |
| 石炭 | 235万トン/年 | 10万トン級船×24隻 | 700万トン |
| 石油 | 155万kL/年 | 20万トン級タンカー×10隻 | 500万トン |
| LNG | 95万トン/年 | LNG船×14隻 | 350万トン |
核燃料サイクル
使用済み燃料の再利用
- 使用済み燃料の組成
- ウラン235：1%（未燃焼分）
- ウラン238：94%
- プルトニウム：1%（新生成）
- 核分裂生成物：4%（高レベル廃棄物）
- 再処理の効果：ウラン資源の有効利用率が60倍に
核分裂生成物の処理
放射性廃棄物の分類と処理
| 分類 | 放射能レベル | 処理方法 | 例 |
|---|---|---|---|
| 高レベル | 10¹⁵ Bq/トン以上 | ガラス固化→地層処分 | 核分裂生成物 |
| 低レベル | 10¹² Bq/トン以下 | セメント固化→浅地処分 | 作業着、工具 |
原子力発電の経済性
発電コスト比較（2021年試算）
| 電源 | 発電コスト [円/kWh] | 内訳の特徴 |
|---|---|---|
| 原子力 | 11.7～ | 建設費高、燃料費安 |
| 石炭火力 | 13.6～22.4 | 燃料費変動大 |
| LNG火力 | 10.7～14.3 | 燃料費変動大 |
| 太陽光 | 8.2～11.8 | 設備費低下中 |
安全対策と新技術
第3世代+（Gen III+）原子炉の特徴
- 受動的安全システム：電源喪失時も自然循環で冷却
- 炉心損傷頻度：10⁻⁵/年 → 10⁻⁶/年に改善
- 60年設計寿命：従来の40年から延長
小型モジュール炉（SMR）
次世代原子炉の特徴
| 項目 | 従来炉 | SMR |
|---|---|---|
| 出力 | 100万kW級 | 30万kW以下 |
| 建設 | 現地建設 | 工場製造・輸送 |
| 冷却 | 能動的 | 受動的（自然循環） |
| 用途 | 大規模発電 | 分散電源、熱供給 |
電験三種での出題ポイント
- 核分裂1回あたりのエネルギー：約200MeV
- ウラン1gの核分裂数：\( \frac{1}{235} \times 6.02 \times 10^{23} \)回
- 制御棒の材料：ホウ素、カドミウム（中性子吸収）
- 減速材：軽水（H₂O）、重水（D₂O）、黒鉛
🔍 ワンポイントアドバイス：核分裂エネルギー問題の最重要ポイントは「E=mc²」と「単位変換」です。質量欠損率が%で与えられたら必ず小数に変換（0.09%→0.0009）し、gをkgに変換（1g→10⁻³kg）することを忘れずに！計算では「9×10¹⁶」という光速の2乗の値を覚えておくと便利です。石炭換算の際は、核分裂エネルギー（kJ）÷石炭の発熱量（kJ/kg）で求めます。令和5年にも類題が出ているので、この計算パターンは確実にマスターしましょう。概算でも解けるように、10の累乗計算に慣れておくことが大切です！
【電験三種】核分裂連鎖反応の仕組み - 2Dアニメーションで完全理解 【電験三種】E=mc²と核分裂の関係 - 360°アインシュタインシミュレーション 【第三種電気主任技術者試験】原子力発電の基礎知識と対策 - BWR・PWRの比較から炉心溶融まで今回は核分裂エネルギーの問題やで！ウラン235が1g、質量欠損0.09%で核分裂するんや。このエネルギーを石炭に換算する問題やけど、まず核分裂って何が起こってるか分かるか？
核分裂では、ウラン235の原子核が中性子を吸収して不安定になり、2つ以上の軽い原子核に分裂します。その際、元の質量の一部が失われて、これが質量欠損ですね。
アインシュタインの有名な式 \(E = mc^2\) により、この失われた質量がエネルギーに変換されます。わずか0.09%の質量欠損でも、光速の2乗という巨大な係数がかかるので、膨大なエネルギーが発生するんですね。
その通り！\(E = mc^2\) が核心やな。光速 \(c = 3.0 \times 10^8\) [m/s] やから、\(c^2\) は \(9.0 \times 10^{16}\) という途方もない数になるんや。じゃあ、まず質量欠損の量を計算してみよか。1gの0.09%は何kgになる？
単位をkgに変換しながら計算します：
\[ \begin{aligned} \Delta m &= 1 \text{ [g]} \times \frac{0.09}{100} \\[10pt] &= 0.0009 \text{ [g]} \\[10pt] &= 0.0009 \times 10^{-3} \text{ [kg]} \\[10pt] &= 9.0 \times 10^{-7} \text{ [kg]} \end{aligned} \]1gは \(10^{-3}\) kg で、その0.09%なので、\(9.0 \times 10^{-7}\) kg の質量が失われることになります。
完璧や！質量欠損は \(9.0 \times 10^{-7}\) kg やな。次は、この質量欠損から発生するエネルギーを計算するで。\(E = \Delta m c^2\) の公式使うんやけど、計算が大きくなるから注意やで。
エネルギーを計算します：
\[ \begin{aligned} E &= \Delta m \times c^2 \\[10pt] &= 9.0 \times 10^{-7} \times (3.0 \times 10^8)^2 \\[10pt] &= 9.0 \times 10^{-7} \times 9.0 \times 10^{16} \\[10pt] &= 81 \times 10^{9} \\[10pt] &= 8.1 \times 10^{10} \text{ [J]} \end{aligned} \]810億ジュール！たった1gのウランから、こんなに巨大なエネルギーが出るんですね。
すごいやろ！810億ジュールや。でも問題では石炭の発熱量がkJ/kgで与えられてるから、単位を揃えなアカンな。JをkJに変換してみ。
1kJ = 1000J なので：
\[ \begin{aligned} E &= 8.1 \times 10^{10} \text{ [J]} \\[10pt] &= 8.1 \times 10^{10} \times 10^{-3} \text{ [kJ]} \\[10pt] &= 8.1 \times 10^7 \text{ [kJ]} \end{aligned} \]8100万kJになりました。石炭の発熱量が25,000 kJ/kgなので、次はこれで割れば必要な石炭の量が出ますね。
ばっちりや！8100万kJのエネルギーを石炭で出すには、何kg必要か計算してみよか。石炭1kgで25,000kJやで。
必要な石炭の量を計算します：
\[ \begin{aligned} W &= \frac{E}{\text{石炭の発熱量}} \\[10pt] &= \frac{8.1 \times 10^7}{25,000} \\[10pt] &= \frac{8.1 \times 10^7}{2.5 \times 10^4} \\[10pt] &= 3.24 \times 10^3 \\[10pt] &= 3,240 \text{ [kg]} \end{aligned} \]約3,200kgで、答えは選択肢(4)の3,200kgですね。ウラン1gのエネルギーが石炭3.2トンに相当するなんて驚異的です！
正解や！ウラン1gが石炭3.2トンに相当するって、すごい比率やろ？これが原子力発電の威力や。ところで、実際の原子力発電所では、このエネルギーをどうやって電気に変えてるか知ってる？
原子力発電所では、核分裂で発生した熱エネルギーで水を蒸気に変え、その蒸気でタービンを回して発電します。基本的な仕組みは火力発電と同じですね。
ただし、核分裂の連鎖反応を制御棒で調整し、臨界状態を保つ必要があります。また、放射性物質を閉じ込めるため、多重の安全システムが必要です。
第三種電気主任技術者として、原子力発電の効率は約33%程度で、残りは海水などで冷却される廃熱になることも重要な知識ですね。
素晴らしい理解や！効率33%ってことは、今計算した3,200kgの石炭相当のエネルギーも、実際に電気になるのは3分の1くらいやな。さて、この問題でよくある計算ミスは何やと思う？
電験三種でよくある計算ミスをまとめます：
【ミス1】単位変換の忘れ → gをkgに変換し忘れて \(10^{-3}\) を掛け忘れる
【ミス2】％の計算ミス → 0.09%を0.09として計算してしまう（100で割り忘れる）
【ミス3】指数計算のミス → \((3.0 \times 10^8)^2 = 9.0 \times 10^{16}\) の計算で指数を間違える
【ミス4】J→kJの変換忘れ → 最後の単位を揃えるのを忘れて、答えが1000倍ずれる
その通り！特に単位変換と指数計算は要注意やで。実は、この \(E = mc^2\) の式、電験三種でたまに出るんやけど、公式が与えられへんことも多いんや。覚え方のコツ教えたろか？
アインシュタインの式 \(E = mc^2\) の覚え方：
【覚え方】「エネルギー = 質量 × 光速の2乗」
【確認方法】単位で確認 → [J] = [kg] × [m/s]² = [kg・m²/s²] ✓
【重要な数値】光速 \(c = 3.0 \times 10^8\) [m/s] は暗記必須
この式は特殊相対性理論の中で最も有名で、質量とエネルギーの等価性を表しています。電験三種では原子力発電の基礎知識として出題されることがありますね。
ええまとめや！最後に、この問題の解法パターンを整理しとこか。試験本番で確実に得点するための手順や！
電験三種の核分裂エネルギー問題・必勝パターン：
【ステップ1】質量欠損を計算 → g→kg変換、％→小数変換を忘れない
【ステップ2】\(E = mc^2\) でエネルギー計算 → \(c = 3.0 \times 10^8\) [m/s]
【ステップ3】単位を揃える → J→kJ または kJ→MJ など、問題に合わせる
【ステップ4】比較対象で割る → 石炭なら発熱量で割って必要量を求める
【ステップ5】桁数チェック → ウラン1g対石炭数トンという比率が妥当か確認
この手順で、令和5年上期問4のような類題も確実に解けます！
解説まとめ
■ 核分裂エネルギーと質量欠損の関係
核分裂反応では、反応前後で質量が減少する現象（質量欠損）が起こります。この失われた質量は、アインシュタインの特殊相対性理論に基づき、膨大なエネルギーに変換されます。本問題では、ウラン235の核分裂で生じるエネルギーを、身近な化石燃料である石炭と比較することで、原子力エネルギーの巨大さを理解することができます。わずか1グラムのウランが、数トンもの石炭に相当するエネルギーを生み出すことは、原子力発電の効率性を示す重要な事実です。
■ 計算手順と公式
1. アインシュタインの質量とエネルギーの等価性原理
物質の質量欠損 \( \Delta m \ \mathrm{[kg]} \) が生じた場合、発生するエネルギー \( E \ \mathrm{[J]} \) は次式で表されます：
\[ E = \Delta m c^2 \]ここで、\( c = 3.0 \times 10^8 \ \mathrm{[m/s]} \) は光の速度（真空中）です。この公式は20世紀物理学における最も重要な発見の一つで、質量とエネルギーが本質的に同じものであることを示しています。
2. 石炭の燃焼エネルギー
石炭を \( W \ \mathrm{[kg]} \) 燃焼させたときに発生するエネルギー \( E \ \mathrm{[kJ]} \) は：
\[ E = (\text{石炭の発熱量}) \times W \]3. エネルギー等価の条件
核分裂で発生するエネルギーと石炭の燃焼エネルギーが等しくなる条件から、必要な石炭の量を求めます。
■ 具体的な計算例
問題条件
- ウラン235の質量：\( 1 \ \mathrm{g} = 1 \times 10^{-3} \ \mathrm{kg} \)
- 質量欠損の割合：\( 0.09 \ \% \)
- 光の速度：\( c = 3.0 \times 10^8 \ \mathrm{[m/s]} \)
- 石炭の発熱量：\( 25\,000 \ \mathrm{[kJ/kg]} \)
ステップ1：質量欠損の計算
ウラン235が核分裂したときの質量欠損 \( \Delta m \ \mathrm{[kg]} \) を求めます：
\[ \begin{aligned} \Delta m &= 1 \times 10^{-3} \times \frac{0.09}{100} \\[5pt] &= 1 \times 10^{-3} \times 9.0 \times 10^{-4} \\[5pt] &= 9.0 \times 10^{-7} \ \mathrm{[kg]} \end{aligned} \]ステップ2:核分裂エネルギーの計算
アインシュタインの公式 \( E = \Delta m c^2 \) を用いて、発生するエネルギーを求めます：
\[ \begin{aligned} E &= \Delta m c^2 \\[5pt] &= 9.0 \times 10^{-7} \times (3.0 \times 10^8)^2 \\[5pt] &= 9.0 \times 10^{-7} \times 9.0 \times 10^{16} \\[5pt] &= 81 \times 10^{9} \\[5pt] &= 8.1 \times 10^{10} \ \mathrm{[J]} \end{aligned} \]単位を \( \mathrm{[kJ]} \) に変換します（\( 1 \ \mathrm{kJ} = 1\,000 \ \mathrm{J} \)）：
\[ \begin{aligned} E &= 8.1 \times 10^{10} \ \mathrm{[J]} \\[5pt] &= \frac{8.1 \times 10^{10}}{1\,000} \ \mathrm{[kJ]} \\[5pt] &= 8.1 \times 10^{7} \ \mathrm{[kJ]} \end{aligned} \]ステップ3：石炭のエネルギーとの等価性
石炭 \( W \ \mathrm{[kg]} \) を燃焼させたときのエネルギーは：
\[ E = 25\,000 \times W \ \mathrm{[kJ]} \]ステップ4：必要な石炭の量の計算
核分裂エネルギーと等しくなる石炭の量を求めます：
\[ \begin{aligned} 8.1 \times 10^{7} &= 25\,000 \times W \\[5pt] W &= \frac{8.1 \times 10^{7}}{25\,000} \\[5pt] &= \frac{8.1 \times 10^{7}}{2.5 \times 10^{4}} \\[5pt] &= \frac{8.1}{2.5} \times 10^{3} \\[5pt] &= 3.24 \times 10^{3} \\[5pt] &= 3\,240 \ \mathrm{[kg]} \end{aligned} \]結論：選択肢 (4) \( 3\,200 \ \mathrm{kg} \)（最も近い値）
■ 実務上の留意点
- 原子力エネルギーの効率性：わずか1グラムのウラン235が約3.2トンの石炭に相当するエネルギーを生み出します。この比率は約1:3,200,000で、原子力発電が少量の燃料で膨大なエネルギーを得られる理由を示しています。
- 質量欠損の意味：核分裂反応では、反応前の原子核の総質量が反応後の生成物の総質量より大きくなります。この差（質量欠損）がエネルギーとして放出されます。0.09%という小さな割合でも、\( c^2 \) の係数により膨大なエネルギーになります。
- 単位換算の注意：エネルギーの単位は \( \mathrm{[J]} \) と \( \mathrm{[kJ]} \) が混在するため、計算時には単位を統一することが重要です。\( 1 \ \mathrm{kJ} = 1\,000 \ \mathrm{J} \) の関係に注意しましょう。
- 光速の2乗の大きさ：\( c^2 = (3.0 \times 10^8)^2 = 9.0 \times 10^{16} \ \mathrm{[m^2/s^2]} \) という巨大な数値が、質量からエネルギーへの変換を極めて効率的にしています。
- 環境負荷の比較：3.2トンの石炭を燃焼させると大量のCO₂が発生しますが、原子力発電では運転中にCO₂を排出しないため、地球温暖化対策の観点からも重要な選択肢となっています。ただし、放射性廃棄物の管理という別の課題があります。
- 計算テクニック：
指数計算では、係数部分と指数部分を分けて計算すると間違いが少なくなります。
\[ \begin{aligned} 9.0 \times 10^{-7} \times 9.0 \times 10^{16} &= (9.0 \times 9.0) \times 10^{-7 + 16} \\[10pt] &= 81 \times 10^{9} \end{aligned} \]
このように計算します。