電験三種 数学基礎 | 一次方程式解説

目次

１．一次方程式とは
２．詳細な計算方法
３．例題で練習
４．自分で解いてみよう！

重要ポイント

一次方程式 等式 移項 未知数 電験数学

ようこそ！このページでは、電気系資格試験に出てくる数学の基礎をわかりやすく解説していきます！特に一次方程式の解き方は試験でよく出るので、しっかり押さえておきましょう！

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このページのポイント

一次方程式の基本から応用まで、電気系資格試験でよく出る計算方法を詳しく解説します。

１．一次方程式とは

一次方程式（いちじほうていしき）とは、未知数（変数）の最高次数が1である方程式のことです。例えば、\(2x + 3 = 7\) や \(5y - 2 = 3y + 4\) などは一次方程式です。一次方程式は「線形方程式」とも呼ばれます。

一次方程式には主に以下のような特徴があります：

未知数の次数：
未知数（\(x\)や\(y\)など）の最高次数が1（\(x^2\)などの項はない）
解の個数：
一般的に解は1つだけ（ただし、特殊な場合は解なしや無数の解を持つことも）
グラフ表現：
グラフでは直線として表される
電気工学での利用：
オームの法則や電力計算など、多くの基本法則で使われる

２．詳細な計算方法

等式の性質

一次方程式を解くには、等式の性質を理解することが大切です。

等式には次の重要な性質があります：

\(A = B\) のとき、\(A + C = B + C\)（両辺に同じ数を足しても等式は成り立つ）
\(A = B\) のとき、\(A - C = B - C\)（両辺から同じ数を引いても等式は成り立つ）
\(A = B\) のとき、\(A \times C = B \times C\)（両辺に同じ数をかけても等式は成り立つ）
\(A = B\) のとき、\(A \div C = B \div C\)（両辺を同じ数（ゼロ以外）で割っても等式は成り立つ）
例を見てみましょう：
元の方程式：\(x + 3 = 5\)
両辺から3を引く：\(x + 3 - 3 = 5 - 3\)
整理すると：\(x = 2\)

これらの性質を使うと、未知数を左辺に、定数を右辺に整理して方程式を解くことができます。

移項の方法

移項（いこう）とは、項を等式の左辺から右辺へ、または右辺から左辺へ移動させる操作です。

移項の基本ルール：

項を移項するときは、その項の符号を反対にする
例を見てみましょう：
元の方程式：\(3x - 4 = 5\)
-4を右辺に移項：\(3x = 5 + 4\)（符号が+に変わる）
整理すると：\(3x = 9\)

さらに例を見てみましょう：

別の例：
元の方程式：\(2x + 3 = 5x - 7\)
2xを右辺に、-7を左辺に移項：\(3 + 7 = 5x - 2x\)
整理すると：\(10 = 3x\)
両辺を3で割ると：\(\frac{10}{3} = x\)

係数の処理

未知数の係数を処理するには、両辺をその係数で割ります。

係数処理の手順：

未知数を左辺に集めた後、両辺を未知数の係数で割る
例を見てみましょう：
元の方程式：\(5x - 3 = 12\)
-3を移項：\(5x = 12 + 3 = 15\)
両辺を5で割る：\(\frac{5x}{5} = \frac{15}{5}\)
整理すると：\(x = 3\)

もう少し複雑な例：

複雑な例：
元の方程式：\(3x + 4 = 7x - 8\)
未知数を左辺に集める：\(3x - 7x = -8 - 4\)
整理すると：\(-4x = -12\)
両辺を-4で割る：\(\frac{-4x}{-4} = \frac{-12}{-4}\)
整理すると：\(x = 3\)

分数・小数を含む方程式

分数を含む方程式

分数を含む方程式は、両辺に分母の最小公倍数をかけて整数にする

分数を含む方程式の解き方：

分母の最小公倍数（LCM）を見つける
両辺にそのLCMをかけて分数を消去する
通常の一次方程式として解く

例を見てみましょう：

元の方程式：\(\frac{x}{3} + \frac{2}{5} = \frac{x}{2} - \frac{1}{10}\)
分母のLCMは30なので、両辺に30をかける：
\(30 \times \left(\frac{x}{3} + \frac{2}{5}\right) = 30 \times \left(\frac{x}{2} - \frac{1}{10}\right)\)
\(10x + 12 = 15x - 3\)
\(10x - 15x = -3 - 12\)
\(-5x = -15\)
\(x = 3\)

小数を含む方程式

小数を含む方程式は、両辺に10の適切なべき乗をかけて整数にする

小数を含む方程式の解き方：

方程式中の小数点以下の桁数を確認する
最も多い桁数に合わせて、両辺に10の適切なべき乗をかける（小数点以下が1桁なら10、2桁なら100など）
これで小数がすべて整数になるので、通常の一次方程式として解く

例を見てみましょう：

元の方程式：\(0.3x + 0.5 = 0.2x + 1.7\)
小数点以下は最大1桁なので、両辺に10をかける：
\(10 \times (0.3x + 0.5) = 10 \times (0.2x + 1.7)\)
\(3x + 5 = 2x + 17\)
\(3x - 2x = 17 - 5\)
\(x = 12\)

括弧を含む方程式

括弧がある場合は、分配法則を使って括弧を外してから解く

括弧を含む方程式の解き方：

元の方程式：\(3(x + 2) = 5(x - 1) + 7\)
分配法則で括弧を外す：\(3x + 6 = 5x - 5 + 7\)
右辺を整理：\(3x + 6 = 5x + 2\)
未知数を左辺に集める：\(3x - 5x = 2 - 6\)
\(-2x = -4\)
\(x = 2\)

３．例題で練習

例題1：基本的な一次方程式

難易度：★☆☆
\(2x + 5 = 11\) を解け

移項して解きます：

\(2x + 5 = 11\)
\(2x = 11 - 5\)
\(2x = 6\)
\(x = \frac{6}{2} = 3\)
よって結果は：\(x = 3\)

例題2：移項が必要な場合

難易度：★☆☆
\(3x - 7 = 2x + 5\) を解け

未知数を左辺に、定数を右辺に集めます：

\(3x - 7 = 2x + 5\)
\(3x - 2x = 5 + 7\)
\(x = 12\)
よって結果は：\(x = 12\)

例題3：括弧を含む方程式

難易度：★★☆
\(4(x - 2) = 3(x + 1) - 5\) を解け

まず括弧を外します：

\(4(x - 2) = 3(x + 1) - 5\)
\(4x - 8 = 3x + 3 - 5\)
\(4x - 8 = 3x - 2\)
\(4x - 3x = -2 + 8\)
\(x = 6\)
よって結果は：\(x = 6\)

例題4：分数を含む方程式

難易度：★★☆
\(\frac{x}{4} + \frac{1}{3} = \frac{x}{6} + \frac{5}{12}\) を解け

分母のLCMをかけて分数を消去します：

\(\frac{x}{4} + \frac{1}{3} = \frac{x}{6} + \frac{5}{12}\)
分母の最小公倍数は12なので、両辺に12をかける
\(12 \times \left(\frac{x}{4} + \frac{1}{3}\right) = 12 \times \left(\frac{x}{6} + \frac{5}{12}\right)\)
\(3x + 4 = 2x + 5\)
\(3x - 2x = 5 - 4\)
\(x = 1\)
よって結果は：\(x = 1\)

例題5：小数を含む方程式

難易度：★★★
\(0.5x - 0.25 = 0.75x + 0.5\) を解け

小数を消去するために、両辺に100をかけます：

\(0.5x - 0.25 = 0.75x + 0.5\)
\(100 \times (0.5x - 0.25) = 100 \times (0.75x + 0.5)\)
\(50x - 25 = 75x + 50\)
\(50x - 75x = 50 + 25\)
\(-25x = 75\)
\(x = -3\)
よって結果は：\(x = -3\)

例題6：オームの法則の応用

難易度：★★★
電流\(I\)が3A、抵抗\(R\)が5Ωのとき、オームの法則\(V = I \times R\)を使って電圧\(V\)を求めよ

オームの法則に数値を代入します：

\(V = I \times R\)
\(V = 3 \times 5\)
\(V = 15\)
よって結果は：\(V = 15\)ボルト
💪

これらの例題を通じて、一次方程式の解き方が身につくと思います。さらに練習を重ねることで、もっと複雑な問題も解けるようになります！電気系の試験でこの辺りの問題がバッチリ解けるようになったら、合格に一歩近づきます！頑張りましょう！

４．自分で解いてみよう！練習問題

ほな、学んだことを使って実際に解いてみよか！答えは隠してあるから、自分で計算してから確認してな。答えを見るには「答えを表示」ボタンをクリックするか、答えの部分をタッチしてみてな！

練習問題1：基本の方程式

基礎

次の方程式を解け：

\(5x - 3 = 17\)

練習問題2：両辺に未知数がある方程式

基礎

次の方程式を解け：

\(7x - 4 = 3x + 12\)

練習問題3：括弧を含む方程式

標準

次の方程式を解け：

\(2(x + 3) - 5 = 3(x - 1) + 4\)

練習問題4：分数を含む方程式

応用

次の方程式を解け：

\(\frac{x}{3} - \frac{1}{6} = \frac{x}{2} - \frac{5}{6}\)

練習問題5：電気回路応用問題

応用

次の問題を解け：

電気回路の抵抗\(R\)が2Ωで電圧\(V\)が10Vのとき、オームの法則\(I = \frac{V}{R}\)を使って電流\(I\)を求めよ。また、この回路の消費電力\(P = I \times V\)も求めよ。

練習問題はどうやった？正解できたかな？

次のステップ

準備中