電験三種 数学基礎 | 連立方程式解説

目次

重要ポイント

連立方程式 加減法 代入法 消去法 電験数学

ようこそ！このページでは、電気系資格試験に出てくる連立方程式をわかりやすく解説していきます！複数の未知数を含む方程式の解き方は試験でよく出るので、しっかり押さえておきましょう！

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このページのポイント

連立方程式の基本から応用まで、電気系資格試験でよく出る計算方法を詳しく解説します。複数の変数を持つ方程式を解く力が身につきます。

１．連立方程式とは

連立方程式（れんりつほうていしき）とは、複数の方程式を組み合わせて、複数の未知数（変数）を求める方程式のことです。例えば、\(x + y = 5\) と \(2x - y = 1\) という2つの方程式を同時に満たす \(x\) と \(y\) の値を求める問題などです。

連立方程式には主に以下のような特徴があります：

未知数の数：
一般的に方程式の数と未知数の数が等しい場合に一意の解が求まる

解法の種類：
加減法（足し算引き算で消去）と代入法（式を代入）の2つの主要な解法がある

グラフ表現：
2元1次連立方程式の場合、2つの直線の交点として表される

電気工学での応用：
キルヒホッフの法則による回路解析や、電力系統の計算など多くの場面で使われる

２．詳細な計算方法

加減法（足し算引き算で消去）

加減法とは、2つの方程式を足したり引いたりして、どちらかの未知数を消去する方法です。

加減法の手順：

\(1.\) 両方の式の中から、同じ文字を選ぶ
\(2.\) その文字の係数の絶対値が等しくなるように、どちらかまたは両方の式に数をかける
\(3.\) 係数の符号が反対なら足し算、同じなら引き算をして、一方の文字を消去する
\(4.\) 残った一方の文字について方程式を解く
\(5.\) 求めた値を元の方程式のどちらかに代入して、もう一方の文字を求める

例を見てみましょう：

連立方程式：\(\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}\)

まず、\(y\) の係数が\(1\)と\(-1\)で、符号が異なるので足し算をします

\((x + y) + (2x - y) = 5 + 1\)

\(3x = 6\)

\(x = 2\)

次に、\(x = 2\) を元の式のどちらかに代入します。\(x + y = 5\) に代入すると

\(2 + y = 5\)

\(y = 3\)

よって、\(x = 2, y = 3\)

代入法（式を代入して解く）

代入法とは、一方の方程式から一つの未知数について解き、それをもう一方の方程式に代入する方法です。

代入法の手順：

\(1.\) どちらかの方程式から、一方の未知数について解く
\(2.\) その式をもう一つの方程式に代入する
\(3.\) 代入した式を整理して、残った未知数について解く
\(4.\) 求めた値を元の式に代入して、もう一方の未知数を求める

例を見てみましょう：

連立方程式：\(\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}\)

一つ目の方程式から \(y\) について解きます

\(y = 5 - x\)

この式を二つ目の方程式に代入します

\(2x - (5 - x) = 1\)

\(2x - 5 + x = 1\)

\(3x - 5 = 1\)

\(3x = 6\)

\(x = 2\)

求めた \(x = 2\) を \(y = 5 - x\) に代入します

\(y = 5 - 2 = 3\)

よって、\(x = 2, y = 3\)

係数の処理と整理

連立方程式を解くときには、係数を整えることが大切です。特に加減法では、消去したい未知数の係数を同じにする必要があります。

係数の処理の手順：

\(1.\) 消去したい未知数を選ぶ（例えば \(y\)）
\(2.\) 両方の式の中の \(y\) の係数の最小公倍数（LCM）を求める
\(3.\) それぞれの式の \(y\) の係数がLCMになるように、適切な数をかける

例を見てみましょう：

連立方程式：\(\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 3x - 4y = 1 \end{cases}\)

\(y\) を消去するため、\(y\) の係数を揃えます

\(y\) の係数は \(3\) と \(-4\) なので、最小公倍数は \(12\)

1つ目の式に \(4\) をかけます：\(8x + 12y = 32\)

2つ目の式に \(3\) をかけます：\(9x - 12y = 3\)

両式を足すと：\((8x + 12y) + (9x - 12y) = 32 + 3\)

\(17x = 35\)

\(x = \frac{35}{17} = \frac{7}{3.4} \approx 2.06\)

正確には \(x = \frac{35}{17}\) です。これを元の式に代入します

\(2 \times \frac{35}{17} + 3y = 8\)

\(\frac{70}{17} + 3y = 8\)

\(3y = 8 - \frac{70}{17}\)

\(3y = \frac{136}{17} - \frac{70}{17} = \frac{66}{17}\)

\(y = \frac{22}{17} \approx 1.29\)

よって、\(x = \frac{35}{17}, y = \frac{22}{17}\)

分数・小数を含む連立方程式

分数を含む連立方程式

分数を含む連立方程式は、まず両辺に分母の最小公倍数をかけて整数にする

分数を含む連立方程式の解き方：

各式の分母の最小公倍数（LCM）を見つける

両辺にそのLCMをかけて分数を消去する

通常の連立方程式として解く

例を見てみましょう：

連立方程式：\(\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1 \\ \frac{x}{4} - \frac{y}{6} = \frac{1}{12} \end{cases}\)

1つ目の式は分母のLCMが6なので、両辺に6をかける：

\(3x + 2y = 6\)

2つ目の式は分母のLCMが12なので、両辺に12をかける：

\(3x - 2y = 1\)

これらの式を足すと：\((3x + 2y) + (3x - 2y) = 6 + 1\)

\(6x = 7\)

\(x = \frac{7}{6}\)

これを元の式に代入すると：\(3 \times \frac{7}{6} + 2y = 6\)

\(\frac{21}{6} + 2y = 6\)

\(2y = 6 - \frac{21}{6} = \frac{36}{6} - \frac{21}{6} = \frac{15}{6}\)

\(y = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}\)

よって、\(x = \frac{7}{6}, y = \frac{5}{4}\)

小数を含む連立方程式

小数を含む連立方程式は、両辺に10の適切なべき乗をかけて整数にする

小数を含む連立方程式の解き方：

方程式中の小数点以下の桁数を確認する

最も多い桁数に合わせて、両辺に10の適切なべき乗をかける（小数点以下が1桁なら10、2桁なら100など）

これで小数がすべて整数になるので、通常の連立方程式として解く

例を見てみましょう：

連立方程式：\(\begin{cases} 0.2x + 0.3y = 1.1 \\ 0.4x - 0.1y = 0.5 \end{cases}\)

小数点以下は最大1桁なので、両辺に10をかける：

\(\begin{cases} 2x + 3y = 11 \\ 4x - y = 5 \end{cases}\)

2つ目の式から \(y\) について解くと：\(y = 4x - 5\)

これを1つ目の式に代入：\(2x + 3(4x - 5) = 11\)

\(2x + 12x - 15 = 11\)

\(14x - 15 = 11\)

\(14x = 26\)

\(x = \frac{26}{14} = \frac{13}{7} \approx 1.86\)

これを \(y = 4x - 5\) に代入：\(y = 4 \times \frac{13}{7} - 5 = \frac{52}{7} - 5 = \frac{52 - 35}{7} = \frac{17}{7} \approx 2.43\)

よって、\(x = \frac{13}{7}, y = \frac{17}{7}\)

３．例題で練習

例題1：基本的な連立方程式（加減法）

難易度：★☆☆ 
\(\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}\) を解け

加減法で解きます：

両方の式を足します

\((x + y) + (x - y) = 5 + 1\)

\(2x = 6\)

\(x = 3\)

求めた \(x = 3\) を一つ目の式に代入：\(3 + y = 5\)

\(y = 2\)

よって結果は：\(x = 3, y = 2\)

例題2：基本的な連立方程式（代入法）

難易度：★☆☆ 
\(\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}\) を解け

代入法で解きます：

二つ目の式から \(y\) について解くと：\(y = x - 1\)

これを一つ目の式に代入：\(2x + (x - 1) = 7\)

\(2x + x - 1 = 7\)

\(3x - 1 = 7\)

\(3x = 8\)

\(x = \frac{8}{3}\)

求めた \(x = \frac{8}{3}\) を \(y = x - 1\) に代入：\(y = \frac{8}{3} - 1 = \frac{8 - 3}{3} = \frac{5}{3}\)

よって結果は：\(x = \frac{8}{3}, y = \frac{5}{3}\)

例題3：係数の処理が必要な連立方程式

難易度：★★☆ 
\(\begin{cases} 3x + 2y = 13 \\ 2x - 3y = -4 \end{cases}\) を解け

加減法で解くために、係数を処理します：

一つ目の式に2をかける：\(6x + 4y = 26\)

二つ目の式に3をかける：\(6x - 9y = -12\)

二つの式を引く：\((6x + 4y) - (6x - 9y) = 26 - (-12)\)

\(4y + 9y = 26 + 12\)

\(13y = 38\)

\(y = \frac{38}{13} = \frac{2 \times 19}{13} = \frac{38}{13}\)

求めた \(y = \frac{38}{13}\) を元の一つ目の式に代入：\(3x + 2 \times \frac{38}{13} = 13\)

\(3x + \frac{76}{13} = 13\)

\(3x = 13 - \frac{76}{13} = \frac{169}{13} - \frac{76}{13} = \frac{93}{13}\)

\(x = \frac{93}{39} = \frac{31}{13}\)

よって結果は：\(x = \frac{31}{13}, y = \frac{38}{13}\)

例題4：分数を含む連立方程式

難易度：★★☆ 
\(\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1 \\ \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 2 \end{cases}\) を解け

まず分数を消去します：

一つ目の式の分母のLCMは6なので、両辺に6をかける：\(3x - 2y = 6\)

二つ目の式の分母のLCMも6なので、両辺に6をかける：\(2x + 3y = 12\)

これで通常の連立方程式になりました

一つ目の式に2をかける：\(6x - 4y = 12\)

二つ目の式と足す：\((6x - 4y) + (2x + 3y) = 12 + 12\)

\(8x - y = 24\)

この式から \(y\) について解くと：\(y = 8x - 24\)

これを \(3x - 2y = 6\) に代入：\(3x - 2(8x - 24) = 6\)

\(3x - 16x + 48 = 6\)

\(-13x + 48 = 6\)

\(-13x = -42\)

\(x = \frac{-42}{-13} = \frac{42}{13} = \frac{6 \times 7}{13}\)

求めた \(x = \frac{42}{13}\) を \(y = 8x - 24\) に代入

\[ \begin{aligned} y &= 8 \times \frac{42}{13} - 24 \\[10pt] &= \frac{336}{13} - 24 \\[10pt] &= \frac{336}{13} - \frac{312}{13} \\[10pt] &= \frac{24}{13} \end{aligned} \]

よって結果は：\(x = \frac{42}{13}, y = \frac{24}{13}\)

例題5：小数を含む連立方程式

難易度：★★★ 
\(\begin{cases} 0.3x + 0.2y = 0.9 \\ 0.1x - 0.4y = 0.2 \end{cases}\) を解け

小数を消去するために、両辺に10をかけます：

\(\begin{cases} 3x + 2y = 9 \\ x - 4y = 2 \end{cases}\)

二つ目の式から \(x\) について解くと：\(x = 2 + 4y\)

これを一つ目の式に代入：\(3(2 + 4y) + 2y = 9\)

\(6 + 12y + 2y = 9\)

\(6 + 14y = 9\)

\(14y = 3\)

\(y = \frac{3}{14} = \frac{3}{14}\)

求めた \(y = \frac{3}{14}\) を \(x = 2 + 4y\) に代入

\[ \begin{aligned} x &= 2 + 4 \times \frac{3}{14} \\[10pt] &= 2 + \frac{12}{14} \\[10pt] &= 2 + \frac{6}{7} \\[10pt] &= \frac{14}{7} + \frac{6}{7} \\[10pt] &= \frac{20}{7} \end{aligned} \]

よって結果は：\(x = \frac{20}{7}, y = \frac{3}{14}\)

例題6：電気回路への応用

難易度：★★★ 
並列回路があり、全体の抵抗値は \(R\) で、2つの抵抗 \(R_1\) と \(R_2\) が接続されている。並列回路では、\(\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\) が成り立つ。また、\(R_1 + R_2 = 25\) Ωで、\(R = 4\) Ωのとき、\(R_1\) と \(R_2\) を求めよ。

連立方程式を立てて解きます：

並列回路の公式より：\(\frac{1}{4} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\)

また、\(R_1 + R_2 = 25\)

一つ目の式を整理：\(\frac{1}{4} = \frac{R_1 + R_2}{R_1 \times R_2}\)

\(R_1 \times R_2 = 4(R_1 + R_2) = 4 \times 25 = 100\)

連立方程式は次のようになります：\(\begin{cases} R_1 + R_2 = 25 \\ R_1 \times R_2 = 100 \end{cases}\)

これは2次方程式で解けます。

\(R_1 = x, R_2 = 25 - x\) とすると：

\(x(25 - x) = 100\)

\(25x - x^2 = 100\)

\(x^2 - 25x + 100 = 0\)

二次方程式の解の公式を使うと：

\[ \begin{aligned} x &= \frac{25 \pm \sqrt{25^2 - 4 \times 1 \times 100}}{2 \times 1} \\[10pt] &= \frac{25 \pm \sqrt{625 - 400}}{2} \\[10pt] &= \frac{25 \pm \sqrt{225}}{2} \\[10pt] &= \frac{25 \pm 15}{2} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} x &= \frac{25 + 15}{2} = \frac{40}{2} = 20 \\[10pt] x &= \frac{25 - 15}{2} = \frac{10}{2} = 5 \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} R_1 &= 20\,\Omega,\quad R_2 = 25 - 20 = 5\,\Omega \\[10pt] \text{または} \quad R_1 &= 5\,\Omega,\quad R_2 = 25 - 5 = 20\,\Omega \end{aligned} \]

いずれの場合も \(R_1 \times R_2 = 20 \times 5 = 100\) となり、条件を満たす

よって結果は：\(R_1 = 20\)Ω, \(R_2 = 5\)Ω または \(R_1 = 5\)Ω, \(R_2 = 20\)Ω

💪

これらの例題を通じて、連立方程式の解き方が身につくと思います。さらに練習を重ねることで、もっと複雑な問題も解けるようになります！電気系の試験でこの辺りの問題がバッチリ解けるようになったら、合格に一歩近づきます！頑張りましょう！

４．自分で解いてみよう！練習問題

ほな、学んだことを使って実際に解いてみよか！答えは隠してあるから、自分で計算してから確認してな。答えを見るには「答えを表示」ボタンをクリックするか、答えの部分をタッチしてみてな！

練習問題1：基本の連立方程式

基礎

次の連立方程式を解け：

\(\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 2x - y = 1 \end{cases}\)

練習問題2：加減法で解く連立方程式

基礎

次の連立方程式を解け：

\(\begin{cases} 4x + 3y = 22 \\ 2x - 3y = 2 \end{cases}\)

練習問題3：小数を含む連立方程式

標準

次の連立方程式を解け：

\(\begin{cases} 0.5x + 0.2y = 2.1 \\ 0.3x - 0.4y = 0.7 \end{cases}\)

練習問題4：分数を含む連立方程式

応用

次の連立方程式を解け：

\(\begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 3 \\ \frac{x}{4} - \frac{y}{6} = 1 \end{cases}\)

練習問題5：電気回路への応用

標準

次の問題を解け：

2つの電流 \(I_1\) と \(I_2\) が合流点で出会い、合計電流 \(I_T\) になっている。キルヒホッフの電流則より \(I_T = I_1 + I_2\) である。もし \(I_1 = 2I_2\) の関係があり、合計電流が \(I_T = 9\)A ならば、\(I_1\) と \(I_2\) の値を求めよ。

練習問題はどうやった？正解できたかな？