【法規】令和6年(下期)　問11｜流込式水力発電所における溢水日数と年間発電電力量に関する計算問題

はい、問題文から次の条件を整理します：

・最大使用水量：\( Q_{\mathrm{max}} = 15 \, \mathrm{[m^3/s]} \)

・有効落差：\( H = 20 \, \mathrm{[m]} \)

・水車効率：\( \eta_w = 90\% = 0.90 \)

・発電機効率：\( \eta_g = 95\% = 0.95 \)

・年間流況曲線の式（100日以上）：\( Q = -0.05d + 25 \, \mathrm{[m^3/s]} \)

これらの値を使って、溢水が発生する日数と年間可能発電電力量を求める必要がありますね。流況曲線というのは、1年間の河川流量を大きい順に並べたグラフのことです。

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溢水とは、河川の流量が発電所の最大使用水量を超えたときに、その超過分を発電に使わずに無効放流することです。

つまり、川の水が \( 15 \, \mathrm{[m^3/s]} \) より多く流れてきても、この発電所では \( 15 \, \mathrm{[m^3/s]} \) までしか使えないので、残りは素通りさせるしかないんです。

例えば、梅雨や台風の時期に川の流量が \( 20 \, \mathrm{[m^3/s]} \) になったら、\( 5 \, \mathrm{[m^3/s]} \) は発電に使えずにもったいない...これが溢水です。でも設備の能力には限界があるので仕方ないんですよね。

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傾きが負（-0.05）なので、右下がりの直線グラフになります！

具体的に考えてみると：

・\( d = 100 \) 日のとき：\( Q = -0.05 \times 100 + 25 = 20 \, \mathrm{[m^3/s]} \)

・\( d = 200 \) 日のとき：\( Q = -0.05 \times 200 + 25 = 15 \, \mathrm{[m^3/s]} \)

・\( d = 365 \) 日のとき：\( Q = -0.05 \times 365 + 25 = 6.75 \, \mathrm{[m^3/s]} \)

つまり、日数が増えるほど流量が減っていくグラフです。これは「年間でこの流量以上になる日数」を表していて、大きな流量ほど発生日数が少ないという、実際の河川の特徴をよく表しているんですね。

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あ！これは溢水が発生する境界線ですね！

最大使用水量が \( 15 \, \mathrm{[m^3/s]} \) なので：

・\( d < 200 \) 日の期間：流量が \( 15 \, \mathrm{[m^3/s]} \) を超える → 溢水発生！

・\( d = 200 \) 日：ちょうど \( 15 \, \mathrm{[m^3/s]} \) → ギリギリ全量使える

・\( d > 200 \) 日の期間：流量が \( 15 \, \mathrm{[m^3/s]} \) 未満 → 全量発電に使える

だから、問題(a)の答えは200日なんですね！年間365日のうち200日間は溢水が発生するということです。

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はい、水力発電の基本公式を導いてみます！

水の位置エネルギーから考えると：

・1秒間に \( Q \, \mathrm{[m^3]} \) の水が流れる

・水の密度 \( \rho = 1000 \, \mathrm{[kg/m^3]} \) なので、質量は \( 1000Q \, \mathrm{[kg]} \)

・高さ \( H \, \mathrm{[m]} \) から落下するので、位置エネルギーは：

\[ \begin{aligned} P_{\text{理論}} &= \rho g Q H \\[10pt] &= 1000 \times 9.8 \times Q \times H \\[10pt] &= 9800QH \, \mathrm{[W]} \\[10pt] &= 9.8QH \, \mathrm{[kW]} \end{aligned} \]

実際の出力は効率を考慮して：

\( P = 9.8QH\eta_w\eta_g \, \mathrm{[kW]} \)

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期間を分ける理由は、使用水量が変わるからです！

【期間①：0～200日】

・河川流量 > 15 m³/s だけど、最大使用水量の制限で 15 m³/s しか使えない

・つまり、ずっと定格出力（最大出力）で運転

【期間②：200～365日】

・河川流量 < 15 m³/s なので、流れてきた水を全部使える

・でも流量が日々減っていくので、出力も変化する

この2つの期間で発電の仕方が違うから、別々に計算して合計する必要があるんですね。現場でも、豊水期と渇水期で運転パターンが変わるのと同じ考え方です！

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期間①（0～200日）の発電電力 \( P_1 \) を計算します：

\[ \begin{aligned} P_1 &= 9.8 \times Q_{\text{max}} \times H \times \eta_w \times \eta_g \\[10pt] &= 9.8 \times 15 \times 20 \times 0.90 \times 0.95 \\[10pt] &= 9.8 \times 15 \times 20 \times 0.855 \\[10pt] &= 147 \times 17.1 \\[10pt] &= 2513.7 \\[10pt] &\approx 2514 \, \mathrm{[kW]} \end{aligned} \]

約2.5MWの出力ですね！これを200日間、24時間ずっと維持できるわけです。

この期間の発電電力量は：

\( W_1 = 2514 \times 24 \times 200 = 12,067,200 \, \mathrm{[kWh]} \)

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流量が連続的に変化するので、本来は積分計算が必要ですが...実務的には平均流量を使う方法があります！

期間②の平均流量 \( Q_A \) を求めます：

・始点（d=200日）：\( Q = 15 \, \mathrm{[m^3/s]} \)

・終点（d=365日）：\( Q = -0.05 \times 365 + 25 = 6.75 \, \mathrm{[m^3/s]} \)

\[ \begin{aligned} Q_A &= \frac{Q_{\text{始}} + Q_{\text{終}}}{2} \\[10pt] &= \frac{15 + 6.75}{2} \\[10pt] &= \frac{21.75}{2} \\[10pt] &= 10.875 \, \mathrm{[m^3/s]} \end{aligned} \]

直線的に変化する場合、この平均値を使えば正確な答えが出るんです！これは台形の面積を求める考え方と同じですね。

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期間②（200～365日）の平均発電電力 \( P_2 \) を計算します：

\[ \begin{aligned} P_2 &= 9.8 \times Q_A \times H \times \eta_w \times \eta_g \\[10pt] &= 9.8 \times 10.875 \times 20 \times 0.90 \times 0.95 \\[10pt] &= 9.8 \times 10.875 \times 20 \times 0.855 \\[10pt] &= 106.575 \times 17.1 \\[10pt] &= 1822.4 \\[10pt] &\approx 1823 \, \mathrm{[kW]} \end{aligned} \]

期間②は165日間（365-200=165日）なので、この期間の発電電力量は：

\( W_2 = 1823 \times 24 \times 165 = 7,219,080 \, \mathrm{[kWh]} \)

渇水期になると出力が約72%（1823÷2514）まで落ちるんですね。現場でも渇水期の運転は悩ましいところです。

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年間可能発電電力量 \( W \) を計算します：

\[ \begin{aligned} W &= W_1 + W_2 \\[10pt] &= 12,067,200 + 7,219,080 \\[10pt] &= 19,286,280 \, \mathrm{[kWh]} \\[10pt] &\approx 19,300,000 \, \mathrm{[kWh]} \\[10pt] &= 19,300 \, \mathrm{[MWh]} \\[10pt] &= 19.3 \, \mathrm{[GWh]} \end{aligned} \]

答えは 19.3 GW·h です！

単位変換のポイント：

・1 MWh = 1,000 kWh

・1 GWh = 1,000 MWh = 1,000,000 kWh

この発電所は年間約19.3GWhの電力を生み出せます。一般家庭約5,400世帯分の年間消費電力に相当しますね！

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流込式発電所の宿命は「自然の流量に左右される」ことですね！

【メリット】

・ダム建設が不要で初期投資が少ない

・環境への影響が小さい

・保守管理が比較的簡単

【デメリット（宿命）】

・豊水期は溢水でもったいない（この問題では200日間も！）

・渇水期は出力が落ちる（最大の72%まで低下）

・年間を通じて安定した発電ができない

だから実際の電力系統では、貯水池式や揚水式と組み合わせて、お互いの弱点を補い合うんですよね。

電験三種では、この「設備利用率」の考え方もよく出題されます。この発電所の場合、最大出力で365日運転したときと比べて、実際は何％しか発電できていないか...これも重要な指標です！

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よくある間違いパターンをまとめます：

【間違い①】期間②で最小流量（6.75 m³/s）だけで計算してしまう

→ 平均流量を使わないと過小評価になります

【間違い②】単位変換ミス

→ kWh → MWh → GWh の変換で1000倍を間違える

【間違い③】24時間をかけ忘れる

→ 出力[kW] × 日数 だけでは時間[h]が足りません

【間違い④】効率をかけ忘れる

→ 水車効率と発電機効率の両方が必要です（0.90×0.95=0.855）

【間違い⑤】9.8の意味を理解せず10で計算

→ 重力加速度は9.8m/s²。10だと約2%の誤差が出ます

電験三種では、こういう「ひっかけ」を避けて確実に得点することが合格への近道です。特に(a)のような単純な問題は絶対に落とさないことが大切ですね！

完了