【理論】令和6年 (上期) 問12｜平行電極間の電圧によって加速される電子の運動エネルギーに関する計算問題

真空中に置かれた平行電極板間に，直流電圧 \( V \) [V] を加えて平等電界 \( E \) [V/m] を作り，この陰極板に電子を置いた場合，初速零で出発した電子が陽極板に到達したときの速さは，\( v \) [m/s] となった。

このときの電子の運動エネルギーは，電子が陽極板に到達するまでに得るエネルギーに等しいと考えられ，次の式が成立する。

\[ \begin{eqnarray} \frac{1}{2}mv^{2} &=& \ \fbox{　（ア）　} \\[5pt] \end{eqnarray} \]

ただし，電子の電気素量を \( e \) [C]，電子の質量を \( m \) [kg] とする。

したがって，この式から電子の速さ \( v \) [m/s] は，\( \fbox{　（イ）　} \) で表される。

上記の記述中の空白箇所（ア）及び（イ）に当てはまる組合せとして，正しいものを次の (1)～(5) のうちから一つ選べ。

\[ \begin{array}{ccc} & （ア） & （イ） \\ \hline (1) & 　eV　 & 　\displaystyle \sqrt {\frac {4eV}{m}}　 \\ \hline (2) & 　eV　 & 　\displaystyle \sqrt {\frac {2eV}{m}}　 \\ \hline (3) & 　2eV　 & 　\displaystyle \sqrt {\frac {4eV}{m}}　 \\ \hline (4) & 　eE　 & 　\displaystyle \sqrt {\frac {2eE}{m}}　 \\ \hline (5) & 　eE　 & 　\displaystyle \sqrt {\frac {4eE}{m}}　 \\ \hline \end{array} \]

合格への方程式

電子と電界の基本的な関係

電子が電界から受ける力

電界の中に電子を置くと、電子は電界と反対方向に力を受けます。これは電子が負の電荷を持っているからです。この力によって電子は加速され、運動エネルギーを得ます。

■ 電界と電子の基本

項目 記号と単位 説明
電界 E [V/m] 単位長さあたりの電位差
電気素量 e = 1.6×10⁻¹⁹ [C] 電子1個の電荷の大きさ
電子の電荷 -e [C] 負の電荷（マイナス）
電子の質量 m = 9.1×10⁻³¹ [kg] 非常に軽い

■ 平行電極板の構造

平行電極板とは

• 2枚の金属板を平行に配置
• 陰極（-）：電子が出発する側
• 陽極（+）：電子が到達する側
• 間の空間：真空または空気
• 電極間：一様な電界（平等電界）が発生

■ 電子に働く力

力の大きさと向き

電界E [V/m]中の電子に働く力F [N]：

\[ F = eE \]

• 力の大きさ：電荷×電界
• 力の向き：電界と逆向き（陰極→陽極）
• 電子は陽極に引き寄せられる

■ 電位と電位差

電位差Vと電界Eの関係

\[ V = Ed \]

ここで、
• V：電極間の電位差（電圧）[V]
• E：電界の強さ [V/m]
• d：電極間距離 [m]

電位差は「電界×距離」で決まります！

エネルギー保存則の理解

エネルギー保存則とは

エネルギーは形を変えても、その総量は変わりません。電子の場合、位置エネルギー（電位エネルギー）が運動エネルギーに変換されます。ジェットコースターが高い所から下る時と同じ原理です！

■ 位置エネルギー（電位エネルギー）

電子が持つ位置エネルギー

陰極にある電子は、陽極に対して位置エネルギーを持ちます：

\[ U = eV \]

• U：位置エネルギー [J]
• e：電気素量 [C]
• V：電位差 [V]

これは「電荷×電位差」で計算できます。

■ エネルギー変換の過程

位置 位置エネルギー 運動エネルギー 全エネルギー
陰極（出発） eV（最大） 0（静止） eV
途中 減少中 増加中 eV（一定）
陽極（到達） 0（最小） ½mv²（最大） eV

■ エネルギー保存の式

陰極から陽極まで移動する場合

初期の位置エネルギー = 最終的な運動エネルギー

\[ eV = \frac{1}{2}mv^2 \]

これがエネルギー保存則の基本式です！

■ 身近な例で理解する

ボールを落とす場合との比較

• 高さh [m]からボールを落とす
　位置エネルギー：mgh → 運動エネルギー：½mv²

• 電位差V [V]で電子を加速
　電位エネルギー：eV → 運動エネルギー：½mv²

重力場での「mgh」が、電界中では「eV」に対応します！

運動エネルギーと速度の計算

運動エネルギーから速度を求める

エネルギー保存則から電子が得た運動エネルギーが分かれば、その速度を計算できます。運動エネルギーの公式を変形するだけです！

■ 運動エネルギーの基本公式

物体の運動エネルギー

\[ K = \frac{1}{2}mv^2 \]

• K：運動エネルギー [J]
• m：質量 [kg]
• v：速度 [m/s]

速度の2乗に比例することに注意！

■ 速度を求める手順

エネルギー保存則からの導出

Step 1：エネルギー保存則を立てる

\[ \frac{1}{2}mv^2 = eV \]

Step 2：両辺を2倍する

\[ mv^2 = 2eV \]

Step 3：両辺をmで割る

\[ v^2 = \frac{2eV}{m} \]

Step 4：平方根を取る

\[ v = \sqrt{\frac{2eV}{m}} \]

■ 速度の公式の覚え方

重要な係数「2」を忘れないために

運動エネルギーの式に「1/2」があるので、
速度を求めるときは「2」が分子に現れます。

覚え方：「半分（1/2）の逆は2倍」

■ 具体的な数値例

電圧 V 電子の速度（概算） 備考
1 V 約 6×10⁵ m/s 光速の0.2%
100 V 約 6×10⁶ m/s 光速の2%
10,000 V 約 6×10⁷ m/s 光速の20%
（相対論的効果が必要）

問題の解法と実践

問題を確実に解くポイント

電子のエネルギー問題は、「位置エネルギー = eV」と「運動エネルギー = ½mv²」をイコールで結ぶだけです。あとは式変形するだけで答えが出ます！

■ 問題文の整理

与えられた条件

• 平行電極板間の電圧：V [V]
• 電界の強さ：E [V/m]（今回は使わない）
• 電子の初速度：0（静止状態から）
• 電子の電気素量：e [C]
• 電子の質量：m [kg]

求めるもの

（ア）運動エネルギーの式
（イ）速度vの式

■ （ア）の解答

運動エネルギー = 得たエネルギー

電子が陽極に到達したときの運動エネルギー：

\[ \frac{1}{2}mv^2 = eV \]

したがって、（ア）= eV

なぜeEではないのか？
• eE：単位長さあたりの力 [N]
• eV：実際に得るエネルギー [J]
エネルギーの単位はジュール[J]です！

■ （イ）の解答

速度vを求める

（ア）の式から：

\[ \frac{1}{2}mv^2 = eV \]

両辺を2倍：

\[ mv^2 = 2eV \]

両辺をmで割る：

\[ v^2 = \frac{2eV}{m} \]

平方根を取る：

\[ v = \sqrt{\frac{2eV}{m}} \]

したがって、（イ）= √(2eV/m)

■ よくある間違いと対策

間違い 原因 正しい考え方
eEを選ぶ 力とエネルギーの混同 eEは力[N]、eVがエネルギー[J]
係数2を忘れる 運動エネルギーの1/2を忘れる ½mv² = eV → v² = 2eV/m
4が出てくる 2の2乗と混同 係数は2のまま、4にはならない

■ 最終確認

答え：(2)

（ア）eV
（イ）√(2eV/m)

覚えるべきポイント：
• エネルギー = eV（電荷×電圧）
• 速度の式には必ず「2」が入る
• 単位を確認（エネルギーは[J]）

■ 実用例

この原理が使われている装置

• ブラウン管（CRT）：電子を加速して蛍光面に衝突
• 電子顕微鏡：高速電子で試料を観察
• X線管：高速電子を金属に当ててX線発生
• 加速器：素粒子実験で使用

🔍 ワンポイントアドバイス：電子のエネルギー問題は「eV = ½mv²」というエネルギー保存則を使うだけです！eVは電子が電圧Vで得るエネルギー、½mv²は運動エネルギーです。速度を求めるときは、必ず「2」が分子に入ることを忘れずに。v = √(2eV/m)という公式は暗記しておくと試験で時間短縮できます。単位にも注意して、eEは力[N]、eVはエネルギー[J]と区別しましょう！

今回は平等電界中の電子の運動について勉強するで！真空中に平行な2枚の電極板があって、間に電圧Vをかけると平等電界Eができるんや。この陰極板に電子を置いたら、どんな動きをすると思う？

電子は負の電荷を持っているので、電界とは逆向きの力を受けますね。つまり、陰極（マイナス側）から陽極（プラス側）に向かって加速されます。

初速度ゼロで出発した電子は、一定の力を受け続けるため、等加速度運動をして陽極板に到達します。この間、電界から受けた仕事によって電子の運動エネルギーが増加していくわけですね。

その通りや！電子は陰極から陽極に向かって加速されるんや。ここで大事なのは「エネルギー保存則」やねん。電子が得る運動エネルギーと、電界がする仕事の関係について考えてみよか。まず、電界中で電子に働く力の大きさはどうなる？

電界 \(E\) [V/m] の中に電気素量 \(e\) [C] を持つ電子があるとき、電子に働く力 \(F\) [N] は：

\(F = eE\) [N] となります。電子は負電荷なので力の向きは電界と逆向きで、陽極に向かう方向です。

これが電験三種でよく出る基本公式で、電界の定義「単位正電荷に働く力」から導かれますね。電子の場合は電荷が \(-e\) ですが、力の大きさを考えるときは \(eE\) となります。

ばっちりや！力は \(F = eE\) やな。次に、電極板間の距離を \(d\) [m] とすると、電子が陰極から陽極まで移動する間に電界がする仕事はどうなる？これがエネルギーの核心部分や！

仕事の定義から、力 \(F\) を距離 \(d\) だけ作用させたときの仕事 \(W\) は：

\[ \begin{aligned} W &= F \times d \\[10pt] &= eE \times d \\[10pt] &= eEd \text{ [J]} \end{aligned} \]

ここで重要なのは、平等電界では \(V = Ed\) という関係があることです。つまり電圧 \(V\) は電界強度 \(E\) と距離 \(d\) の積なので、\(W = eV\) [J] と書き換えられますね。

完璧や！仕事は \(W = eV\) になるんやな。これが電子が陽極に到達するまでに得るエネルギーや。で、このエネルギーはどこに行くと思う？エネルギー保存則から考えてみ！

エネルギー保存則により、電界がした仕事 \(eV\) [J] はすべて電子の運動エネルギーに変換されます。

初速度ゼロで出発した電子が速度 \(v\) [m/s] になったとき、運動エネルギーは \(\frac{1}{2}mv^2\) [J] です。

したがって、\(\frac{1}{2}mv^2 = eV\) という等式が成立します。これが問題の（ア）の答えで、\(eV\) が入りますね。位置エネルギーの減少分がそのまま運動エネルギーの増加分になるという物理の基本原理です。

素晴らしい！（ア）は \(eV\) や。エネルギー保存則そのものやな。じゃあ次は（イ）、電子の速さ \(v\) を求める式や。\(\frac{1}{2}mv^2 = eV\) から \(v\) を求めてみよか！

式を \(v\) について解きます：

\[ \begin{aligned} \frac{1}{2}mv^2 &= eV \\[10pt] mv^2 &= 2eV \\[10pt] v^2 &= \frac{2eV}{m} \\[10pt] v &= \sqrt{\frac{2eV}{m}} \text{ [m/s]} \end{aligned} \]

これが（イ）の答えで、\(\sqrt{\frac{2eV}{m}}\) となります。電圧が高いほど、また電子の質量が小さいほど速度が大きくなることが分かりますね。

パーフェクトや！答えは（ア）が \(eV\)、（イ）が \(\sqrt{\frac{2eV}{m}}\) やから、選択肢(2)が正解やな。ところで、この公式って実際どこで使われてるか知ってる？身近な応用例があるんやで！

この原理は電子顕微鏡やブラウン管（CRT）ディスプレイで使われていますね！電子顕微鏡では、高電圧で電子を加速して波長を短くし、高い分解能を実現しています。

例えば、加速電圧100kVの電子顕微鏡では、電子の速度は光速の約60%にもなります。また、古いテレビのブラウン管では、この原理で電子ビームを加速して蛍光面に衝突させ、画像を表示していました。

X線管でも同じ原理で、高速電子を金属ターゲットに衝突させてX線を発生させています。

めっちゃよう知ってるな！電子顕微鏡とか、まさにこの原理やねん。さて、試験対策として重要なポイントを整理しとこか。この手の問題で間違えやすいところはどこやと思う？

電験三種でよくある間違いをまとめます：

【間違い1】電界 \(E\) と電圧 \(V\) を混同する → \(eE\) と \(eV\) は別物です。\(V = Ed\) の関係を忘れない！

【間違い2】運動エネルギーの係数 \(\frac{1}{2}\) を忘れる → \(\frac{1}{2}mv^2\) の \(\frac{1}{2}\) は必須です。

【間違い3】速度を求める際の2を忘れる → \(v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}\) の分子の2は、\(\frac{1}{2}\) を移項したものです。

その通り！特に \(eE\) と \(eV\) の違いは要注意やで。選択肢(4)と(5)はわざと \(eE\) にしてあるトラップやねん。実際の数値で確認してみよか。例えば電極間距離5cm、電圧1000Vの場合、電界強度はどうなる？

具体的に計算してみます：

\[ \begin{aligned} E &= \frac{V}{d} \\[10pt] &= \frac{1000 \text{ [V]}}{0.05 \text{ [m]}} \\[10pt] &= 20000 \text{ [V/m]} \\[10pt] &= 20 \text{ [kV/m]} \end{aligned} \]

電子が得るエネルギーは \(eV = e \times 1000\) [J] ですが、もし間違えて \(eE = e \times 20000\) [J] としたら20倍も違ってしまいます！だから単位の確認が重要なんですね。

ナイスな計算例や！20倍も違うとか、えらいことやな。最後に、この問題の解法パターンをまとめとこか。類似問題が出たときの必勝法や！

電験三種の電子の運動エネルギー問題・必勝パターン：

【ステップ1】エネルギー保存則を立てる → 電界がした仕事 = 運動エネルギーの増加

【ステップ2】仕事は \(W = eV\)（電圧を使う）または \(W = eEd\)（電界×距離）

【ステップ3】運動エネルギーは必ず \(\frac{1}{2}mv^2\)

【ステップ4】速度を求める際は両辺を2倍してから \(m\) で割り、ルートを取る

この手順で確実に解けます。平成9年から令和の問題まで、基本パターンは変わっていません！

解説まとめ

■ 平等電界中の電子の運動とは

平行平板電極間に電圧を印加すると、電極間に一様な電界が形成されます。この電界中に置かれた電子は、電界から力を受けて加速されます。重要なのは、電子が電界から得る「電気的な位置エネルギー」が、運動することで「運動エネルギー」に変換されるというエネルギー保存の原理です。これは、ブラウン管、電子顕微鏡、加速器などの電子ビーム機器の基本原理であり、電気主任技術者として理解すべき基礎概念です。

■ 計算手順と公式

  1. 電界中の電子に働く力

    電界E中の電子（電荷-e）に働く力：

    \( F = eE \ \mathrm{[N]} \)

    ※力の向きは電界と逆向き（電子は負電荷のため）

  2. 電子が得る位置エネルギー

    電位差Vの間を移動する電子が得るエネルギー：

    \( W = eV \ \mathrm{[J]} \)

    ※電界Eと距離dの関係：V = Ed

  3. 運動エネルギーの公式

    質量m、速度vの物体の運動エネルギー：

    \( K = \frac{1}{2}mv^2 \ \mathrm{[J]} \)

  4. エネルギー保存則

    位置エネルギーが運動エネルギーに変換：

    \( eV = \frac{1}{2}mv^2 \)

■ 具体的な計算例

問題の状況整理

平行電極板の構成を考えます：

  • 陰極板（－極）：電子の出発点
  • 陽極板（＋極）：電子の到達点
  • 電極間電圧：V [V]
  • 電極間電界：E [V/m]
  • 電子の初速度：0（静止状態から出発）

【Step 1】電子の移動方向の理解

電子（負電荷）の動きを整理します：

  • 電界の向き：陽極（＋）から陰極（－）へ
  • 電子に働く力：電界と逆向き（陰極から陽極へ）
  • 電子の移動：陰極から陽極へ加速しながら移動

【Step 2】(ア)の解答：電子が得るエネルギー

電子が陰極から陽極まで移動する際に得るエネルギーを考えます：

電位差による位置エネルギー：

\[ \begin{aligned} W &= e \times V \\[5pt] &= eV \ \mathrm{[J]} \end{aligned} \]

これが電子の運動エネルギーに変換されます。

【Step 3】エネルギー保存則の適用

初速度0の電子が陽極に到達したときの運動エネルギー：

\[ \begin{aligned} \text{運動エネルギー} &= \text{位置エネルギーの変化} \\[5pt] \frac{1}{2}mv^2 &= eV \end{aligned} \]

したがって、(ア)の答えは eV となります。

【Step 4】(イ)の解答：電子の速さの導出

エネルギー保存の式から速さvを求めます：

\[ \begin{aligned} \frac{1}{2}mv^2 &= eV \\[5pt] mv^2 &= 2eV \\[5pt] v^2 &= \frac{2eV}{m} \\[5pt] v &= \sqrt{\frac{2eV}{m}} \ \mathrm{[m/s]} \end{aligned} \]

したがって、(イ)の答えは \( \sqrt{\frac{2eV}{m}} \) となります。

【補足】なぜEではなくVを使うのか

選択肢には電界E [V/m]を使った式もありますが：

  • 電界Eは単位長さあたりの電位差
  • 実際のエネルギーは「全電位差V」で決まる
  • V = Ed（d：電極間距離）の関係があるが、問題ではVが与えられている

結論：(ア) eV、(イ) \( \sqrt{\frac{2eV}{m}} \)（選択肢(2)）

■ 実務上の留意点

平等電界中の電子の運動は、多くの電子機器の基本原理となっています。