【理論】令和6年 (下期) 問6｜直流電源を加えた抵抗の直並列回路における各抵抗の電流の計算問題

はい、先生。この回路を見ると以下の特徴がありますね：

【回路の構成】

・2つの直流電源：4V と 2V

・3つの抵抗：4Ω、2Ω、5Ω

・電源と抵抗が組み合わさった複合回路

【回路の特徴】

・複数の電源があるため、単純なオームの法則だけでは解けない

・各抵抗に流れる電流の向きが定義されている

・5Ωの抵抗が中央に配置されて、他の回路と並列接続されている

【解法の選択肢】

このような回路は以下の方法で解析できます：

1. 重ね合わせの理（各電源の影響を個別に計算）

2. ミルマンの定理（並列回路の等価電圧を求める）

3. キルヒホッフの法則（連立方程式）

どの方法を使うかで計算の複雑さが変わりますね。

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はい、重ね合わせの理（重ね合わせの定理）は：

【重ね合わせの理の原理】

複数の電源で構成された線形回路では、各電源が単独で動作したときの効果を個別に計算し、それらを代数的に加算することで全体の解を求めることができます。

【適用手順】

1. 電源を1つずつ残して、他の電源を除去

・電圧源 → 短絡（導線で置き換え）

・電流源 → 開放（切断）

2. 各電源単独での電流・電圧を計算

3. すべての結果を代数的に加算

・同じ向きなら加算

・逆向きなら減算

【なぜ使えるのか】

線形回路（抵抗、コイル、コンデンサ）では、オームの法則やキルヒホッフの法則がすべて線形関係なので、重ね合わせの原理が成り立ちます。

この問題では、4V電源と2V電源を1つずつ動作させて計算しますね。

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はい、4V電源のみが動作している回路を見ると：

【回路の状態】

・4V電源：そのまま残す

・2V電源：短絡（導線に置き換え）

・結果：4V電源、4Ω抵抗、2Ωと5Ωの並列回路

【回路の解析】

1. 2Ωと5Ωの並列合成抵抗を求める

→　横スクロールして下さい　→

\[ \begin{aligned} R_{parallel} &= \frac{2 \times 5}{2 + 5} \\[10pt] &= \frac{10}{7} \\[10pt] &≈ 1.429 \, \mathrm{[\Omega]} \end{aligned} \]

2. 全体の合成抵抗

→　横スクロールして下さい　→

\[ \begin{aligned} R' &= 4 + \frac{10}{7} \\[10pt] &= \frac{28 + 10}{7} \\[10pt] &= \frac{38}{7} ≈ 5.429 \, \mathrm{[\Omega]} \end{aligned} \] 次のステップへ

はい、4V電源側の電流を計算します：

【全電流 \(I_1'\) の計算】

→　横スクロールして下さい　→

\[ \begin{aligned} I_1' &= \frac{4V}{R'} \\[10pt] &= \frac{4}{\frac{38}{7}} \\[10pt] &= \frac{4 \times 7}{38} \\[10pt] &= \frac{28}{38} \\[10pt] &≈ 0.7368 \, \mathrm{[A]} \end{aligned} \]

【分流の法則で \(I_2'\) と \(I_3'\) を計算】

2Ωと5Ωの並列回路で、全電流 \(I_1'\) が分流します：

→　横スクロールして下さい　→

\[ \begin{aligned} I_2' &= \frac{5}{2+5} \times I_1' \\[10pt] &= \frac{5}{7} \times 0.7368 \\[10pt] &≈ 0.5263 \, \mathrm{[A]} \\[15pt] I_3' &= \frac{2}{2+5} \times I_1' \\[10pt] &= \frac{2}{7} \times 0.7368 \\[10pt] &≈ 0.2105 \, \mathrm{[A]} \end{aligned} \]

【分流の法則のポイント】

並列回路では、抵抗値が小さい方により多くの電流が流れます。2Ω < 5Ωなので、\(I_2' > I_3'\) となっていますね。

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はい、2V電源のみが動作している回路を解析します：

【回路の状態】

・2V電源：そのまま残す

・4V電源：短絡（導線に置き換え）

・結果：2V電源、2Ω抵抗、4Ωと5Ωの並列回路

【4Ωと5Ωの並列合成抵抗】

→　横スクロールして下さい　→

\[ \begin{aligned} R_{parallel} &= \frac{4 \times 5}{4 + 5} \\[10pt] &= \frac{20}{9} \\[10pt] &≈ 2.222 \, \mathrm{[\Omega]} \end{aligned} \]

【全体の合成抵抗】

→　横スクロールして下さい　→

\[ \begin{aligned} R'' &= 2 + \frac{20}{9} \\[10pt] &= \frac{18 + 20}{9} \\[10pt] &= \frac{38}{9} ≈ 4.222 \, \mathrm{[\Omega]} \end{aligned} \]

興味深いことに、どちらの場合も分子が38になっていますね！これは偶然ではなく、回路の対称性を反映しています。

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はい、2V電源側の電流を計算します：

【全電流 \(I_2''\) の計算】

→　横スクロールして下さい　→

\[ \begin{aligned} I_2'' &= \frac{2V}{R''} \\[10pt] &= \frac{2}{\frac{38}{9}} \\[10pt] &= \frac{2 \times 9}{38} \\[10pt] &= \frac{18}{38} \\[10pt] &≈ 0.4737 \, \mathrm{[A]} \end{aligned} \]

【分流の法則で \(I_1''\) と \(I_3''\) を計算】

4Ωと5Ωの並列回路で、全電流 \(I_2''\) が分流します：

→　横スクロールして下さい　→

\[ \begin{aligned} I_1'' &= \frac{5}{4+5} \times I_2'' \\[10pt] &= \frac{5}{9} \times 0.4737 \\[10pt] &≈ 0.2632 \, \mathrm{[A]} \\[15pt] I_3'' &= -\frac{4}{4+5} \times I_2'' \\[10pt] &= -\frac{4}{9} \times 0.4737 \\[10pt] &≈ -0.2105 \, \mathrm{[A]} \end{aligned} \]

【\(I_3''\) がマイナスの理由】

図を見ると、\(I_3''\) の向きが定義された \(I_3\) の向きと逆になっているため、マイナス符号がつきます。これは重ね合わせでは重要なポイントですね。

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はい、重ね合わせの理により各電流を加算します：

【最終的な電流の計算】

→　横スクロールして下さい　→

\[ \begin{aligned} I_1 &= I_1' + I_1'' \\[10pt] &= 0.7368 + 0.2632 \\[10pt] &= 1.00 \, \mathrm{[A]} \\[15pt] I_2 &= I_2' + I_2'' \\[10pt] &= 0.5263 + 0.4737 \\[10pt] &= 1.00 \, \mathrm{[A]} \\[15pt] I_3 &= I_3' + I_3'' \\[10pt] &= 0.2105 + (-0.2105) \\[10pt] &= 0.00 \, \mathrm{[A]} \end{aligned} \]

【結果の確認】

・\(I_1 = 1\,\mathrm{A}\)、\(I_2 = 1\,\mathrm{A}\)、\(I_3 = 0\,\mathrm{A}\)

選択肢と比較すると、(4) の組み合わせと一致しますね。

【興味深い結果】

\(I_3 = 0\) ということは、5Ωの抵抗には電流が流れていないということです。これは偶然ではなく、回路の電圧バランスによるものですね。

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はい、ミルマンの定理を使って5Ωの抵抗の電圧を求めてみます：

【ミルマンの定理の適用】

図のように、3つの枝が並列接続されています：

・枝1：4V電源と4Ω抵抗

・枝2：2V電源と2Ω抵抗（逆向きなので-2V）

・枝3：5Ω抵抗のみ（電源なし、0V）

【5Ω抵抗にかかる電圧 \(V_3\) の計算】

→　横スクロールして下さい　→

\[ \begin{aligned} V_3 &= \frac{\frac{E_1}{R_1} + \frac{E_2}{R_2} + \frac{E_3}{R_3}}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}} \\[15pt] &= \frac{\frac{4}{4} + \frac{-2}{2} + \frac{0}{5}}{\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{5}} \\[15pt] &= \frac{1 - 1 + 0}{\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{5}} \\[15pt] &= \frac{0}{\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{5}} = 0 \, \mathrm{[V]} \end{aligned} \]

【結果の解釈】

\(V_3 = 0\,\mathrm{V}\) なので、5Ω抵抗に電流は流れません：

\(I_3 = \frac{V_3}{5} = \frac{0}{5} = 0\,\mathrm{A}\)

これで重ね合わせの結果と一致しました！

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なるほど！\(I_3 = 0\) ということは、5Ωの抵抗を取り除いても回路の動作に影響しないということですね。

【簡略化された回路】

5Ωを除去すると、4V電源と4Ω抵抗、2V電源と2Ω抵抗が直列接続された単純な回路になります。

【電流の計算】

この回路では、4V + 2V = 6V の電圧が、4Ω + 2Ω = 6Ω の抵抗に加わります：

→　横スクロールして下さい　→

\[ \begin{aligned} I_1 = I_2 &= \frac{4 + 2}{4 + 2} \\[10pt] &= \frac{6}{6} \\[10pt] &= 1 \, \mathrm{[A]} \end{aligned} \]

【この解法の利点】

1. 計算が圧倒的に簡単

2. 複雑な分流計算が不要

3. ミルマンの定理で先に \(I_3 = 0\) を確認できれば、この方法が使える

電験では、このような「回路の特性を見抜いて効率的に解く」技術が重要ですね。

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面白い質問ですね！これには回路の対称性と電圧比が関係しています：

【電圧と抵抗の比率】

・4V電源側：\(\frac{4V}{4Ω} = 1\,\mathrm{A/Ω}\)

・2V電源側：\(\frac{2V}{2Ω} = 1\,\mathrm{A/Ω}\)

この比率が同じなので、5Ωの両端の電位が等しくなります。

【物理的な説明】

5Ωの抵抗の両端を考えると：

・左端：4V電源から4Ωを通って到達する電位

・右端：2V電源から2Ωを通って到達する電位

4V電源が4Ωに対する影響と、2V電源が2Ωに対する影響が同じ「強さ」なので、中央点（5Ωの両端）の電位が等しくなります。

【一般的な条件】

この現象は \(\frac{E_1}{R_1} = \frac{E_2}{R_2}\) のとき発生します。

【実用的な意味】

・ブリッジ回路の平衡条件

・測定回路の零点調整

・電力系統の負荷分散

などでこの原理が活用されています。

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【この問題で学んだ重要ポイント】

1. 複数解法の習得

・重ね合わせの理：確実だが計算量多め

・ミルマンの定理：特定条件で効果的

・回路簡略化：最も効率的（条件が合えば）

2. 回路の物理的理解

・\(\frac{E_1}{R_1} = \frac{E_2}{R_2}\) で中央素子の電流が0

・対称性の認識で計算簡略化

【よくある間違いとその対策】

❌ 重ね合わせでの符号ミス

⭕ 電流の向きを図で必ず確認

❌ 分流の法則の公式間違い

⭕ 分子は「相手の抵抗」（分圧と逆）

❌ ミルマンで電源の極性無視

⭕ 逆向き電源は負の値で計算

❌ 並列合成抵抗の計算ミス

⭕ \(\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}\) を確実に

【電験攻略のコツ】

1. まずミルマンで特殊条件をチェック

2. 対称性があれば簡略化を検討

3. 重ね合わせは最後の手段として確保

4. 計算結果は必ずキルヒホッフで検証

【実用的な応用】

・電力系統の潮流計算

・電子回路のバイアス設計

・測定機器の校正回路

・太陽光発電の並列運転

【時間短縮テクニック】

1. 選択肢から逆算：\(I_3 = 0\) の選択肢があれば、まずミルマンで確認

2. 対称性の活用：\(\frac{E_1}{R_1} = \frac{E_2}{R_2}\) なら即座に簡略化

3. 概算での検証：計算結果が物理的に妥当か確認

【答え：(4) \(I_1 = 1\), \(I_2 = 1\), \(I_3 = 0\)】

複数電源回路は電験の頻出分野なので、この3つの解法をマスターしておけば、どんな問題にも対応できますね！特に「効率的な解法の選択」ができるようになると、試験時間の大幅短縮につながります。

学習完了