【理論】令和6年 (下期) 問5｜直流電源を加えた抵抗・コイル・コンデンサの直並列回路における蓄積エネルギーの計算問題

はい、先生。直流回路の定常状態では：

【コイル（インダクタンス）】

・定常状態では電流が一定になるため、\(\frac{di}{dt} = 0\)

・コイルの電圧は \(v = L\frac{di}{dt} = 0\) になる

・つまり、コイルは短絡（ショート）として働く

【コンデンサ】

・定常状態では電圧が一定になるため、\(\frac{dv}{dt} = 0\)

・コンデンサの電流は \(i = C\frac{dv}{dt} = 0\) になる

・つまり、コンデンサは開放として働く

これは過渡現象の基本で、電源投入直後とは逆の状態になります。定常状態の回路解析では、コイルを導線に、コンデンサを切断した状態で考えます。

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はい、定常状態での回路を考えてみます：

【回路の簡略化】

・\(L_1\) と \(L_2\)：短絡（導線）として扱う

・\(C_1\) と \(C_2\)：開放として扱う

すると、元の回路は以下のようになります：

・上の枝：\(R_1\) のみ（\(L_1\) は短絡、\(C_1\) は開放）

・下の枝：\(R_2\) のみ（\(L_2\) は短絡、\(C_2\) は開放）

【簡略化された回路】

電源 \(E = 100\,\mathrm{V}\) に対して、\(R_1 = 20\,\Omega\) と \(R_2 = 30\,\Omega\) が直列接続された単純な直流回路になります。

これで電流計算ができますし、各抵抗の電圧降下も求められます。コンデンサには各抵抗と同じ電圧が加わることになりますね。

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はい、オームの法則を使って電流を計算します：

【回路の全抵抗】

\(R_1\) と \(R_2\) が直列接続されているので：

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\[ \begin{aligned} R_{total} &= R_1 + R_2 \\[10pt] &= 20 + 30 \\[10pt] &= 50 \, \mathrm{[\Omega]} \end{aligned} \]

【回路電流の計算】

オームの法則 \(I = \frac{V}{R}\) より：

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\[ \begin{aligned} I &= \frac{E}{R_{total}} \\[10pt] &= \frac{100}{50} \\[10pt] &= 2 \, \mathrm{[A]} \end{aligned} \]

つまり、\(L_1\) と \(L_2\) には同じ 2A の電流が流れることになります。

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はい、各抵抗の電圧降下を計算します：

【抵抗 \(R_1\) の電圧】

オームの法則 \(V = IR\) より：

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\[ \begin{aligned} V_1 &= R_1 \times I \\[10pt] &= 20 \times 2 \\[10pt] &= 40 \, \mathrm{[V]} \end{aligned} \]

【抵抗 \(R_2\) の電圧】

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\[ \begin{aligned} V_2 &= R_2 \times I \\[10pt] &= 30 \times 2 \\[10pt] &= 60 \, \mathrm{[V]} \end{aligned} \]

【検算】

\(V_1 + V_2 = 40 + 60 = 100\,\mathrm{V}\) で電源電圧と一致しているので正しいですね。

【コンデンサの電圧】

・\(C_1\) には \(V_1 = 40\,\mathrm{V}\) が印加

・\(C_2\) には \(V_2 = 60\,\mathrm{V}\) が印加

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はい、コイル（インダクタンス）に蓄えられる磁気エネルギーの公式は：

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\[ W_L = \frac{1}{2}LI^2 \]

ここで、

・\(W_L\)：磁気エネルギー \(\mathrm{[J]}\)

・\(L\)：インダクタンス \(\mathrm{[H]}\)

・\(I\)：電流 \(\mathrm{[A]}\)

【物理的意味】

コイルに電流が流れると磁界が発生し、その磁界にエネルギーが蓄えられます。電流が大きいほど、またインダクタンスが大きいほど、蓄えられるエネルギーも大きくなります。

この公式を使って \(L_1\) と \(L_2\) のエネルギーを計算できますね。両方とも同じ 2A の電流が流れているので計算しやすいです。

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はい、各コイルの磁気エネルギーを計算します：

【\(L_1\) の磁気エネルギー】

与えられた値：\(L_1 = 20\,\mathrm{mH} = 20 \times 10^{-3}\,\mathrm{H}\)、\(I = 2\,\mathrm{A}\)

→　横スクロールして下さい　→

\[ \begin{aligned} W_{L1} &= \frac{1}{2}L_1 I^2 \\[10pt] &= \frac{1}{2} \times 20 \times 10^{-3} \times 2^2 \\[10pt] &= \frac{1}{2} \times 20 \times 10^{-3} \times 4 \\[10pt] &= \frac{1}{2} \times 80 \times 10^{-3} \\[10pt] &= 40 \times 10^{-3} \\[10pt] &= 0.04 \, \mathrm{[J]} \end{aligned} \]

【\(L_2\) の磁気エネルギー】

与えられた値：\(L_2 = 40\,\mathrm{mH} = 40 \times 10^{-3}\,\mathrm{H}\)、\(I = 2\,\mathrm{A}\)

→　横スクロールして下さい　→

\[ \begin{aligned} W_{L2} &= \frac{1}{2}L_2 I^2 \\[10pt] &= \frac{1}{2} \times 40 \times 10^{-3} \times 4 \\[10pt] &= 0.08 \, \mathrm{[J]} \end{aligned} \] 次のステップへ

はい、コンデンサに蓄えられる静電エネルギーの公式は：

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\[ W_C = \frac{1}{2}CV^2 \]

ここで、

・\(W_C\)：静電エネルギー \(\mathrm{[J]}\)

・\(C\)：静電容量 \(\mathrm{[F]}\)

・\(V\)：電圧 \(\mathrm{[V]}\)

【他の表現形式】

\(Q = CV\) の関係を使うと：

・\(\displaystyle W_C = \frac{1}{2}QV\)

・\(\displaystyle W_C = \frac{Q^2}{2C}\)

【物理的意味】

コンデンサに電荷が蓄えられると電界が発生し、その電界にエネルギーが蓄えられます。電圧の2乗に比例するので、電圧が高いほどエネルギーは急激に増加します。

今回は電圧で与えられているので、\(W_C = \frac{1}{2}CV^2\) を使いますね。

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はい、各コンデンサの静電エネルギーを計算します：

【\(C_1\) の静電エネルギー】

与えられた値：\(C_1 = 400\,\mathrm{\mu F} = 400 \times 10^{-6}\,\mathrm{F}\)、\(V_1 = 40\,\mathrm{V}\)

→　横スクロールして下さい　→

\[ \begin{aligned} W_{C1} &= \frac{1}{2}C_1 V_1^2 \\[10pt] &= \frac{1}{2} \times 400 \times 10^{-6} \times 40^2 \\[10pt] &= \frac{1}{2} \times 400 \times 10^{-6} \times 1600 \\[10pt] &= \frac{1}{2} \times 640 \times 10^{-3} \\[10pt] &= 320 \times 10^{-3} \\[10pt] &= 0.32 \, \mathrm{[J]} \end{aligned} \]

【\(C_2\) の静電エネルギー】

与えられた値：\(C_2 = 600\,\mathrm{\mu F} = 600 \times 10^{-6}\,\mathrm{F}\)、\(V_2 = 60\,\mathrm{V}\)

→　横スクロールして下さい　→

\[ \begin{aligned} W_{C2} &= \frac{1}{2}C_2 V_2^2 \\[10pt] &= \frac{1}{2} \times 600 \times 10^{-6} \times 60^2 \\[10pt] &= \frac{1}{2} \times 600 \times 10^{-6} \times 3600 \\[10pt] &= 1.08 \, \mathrm{[J]} \end{aligned} \] 次のステップへ

はい、すべてのエネルギーを合計します：

【エネルギーの総和】

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\[ \begin{aligned} W_{total} &= W_{L1} + W_{L2} + W_{C1} + W_{C2} \\[10pt] &= 0.04 + 0.08 + 0.32 + 1.08 \\[10pt] &= 1.52 \, \mathrm{[J]} \end{aligned} \]

【各成分の内訳】

・コイル \(L_1\)：0.04 J（2.6%）

・コイル \(L_2\)：0.08 J（5.3%）

・コンデンサ \(C_1\)：0.32 J（21.1%）

・コンデンサ \(C_2\)：1.08 J（71.1%）

選択肢と比較すると、(5) \(1.52\) が正解ですね。

興味深いことに、\(C_2\) だけで全体の約7割のエネルギーを占めています。これは電圧の2乗効果（60V vs 40V）と大きな静電容量の相乗効果ですね。

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確かに最初は不思議に感じますね！でも、これには明確な理由があります：

【なぜエネルギーが蓄えられるのか】

1. 電源投入の瞬間から定常状態まで

・電源を入れた瞬間：コイルは開放、コンデンサは短絡状態

・時間経過：徐々に電流と電圧が変化

・定常状態：コイルは短絡、コンデンサは開放状態

2. エネルギー蓄積の過程

・コイル：電流が0Aから2Aまで増加する過程で磁界エネルギーを蓄積

・コンデンサ：電圧が0Vから所定値まで充電される過程で静電エネルギーを蓄積

3. 定常状態での意味

定常状態では「変化がない」だけで、「エネルギーがない」わけではありません。むしろ、過渡現象の結果として確定した電流・電圧値に対応するエネルギーが蓄えられています。

つまり、直流だからこそ安定してエネルギーが蓄えられるんですね！

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はい、実際の電気設備での活用例をご紹介します：

【コイルのエネルギー蓄積の活用】

・フライホイール効果：モーターの慣性と併せて回転の安定化

・チョークコイル：電流の急変を抑制して機器保護

・超電導磁気エネルギー貯蔵（SMES）：大容量の瞬時電力供給

【コンデンサのエネルギー蓄積の活用】

・力率改善コンデンサ：誘導性負荷の無効電力補償

・平滑コンデンサ：整流回路の出力電圧安定化

・バックアップ電源：瞬停時の一時的な電力供給

・電気自動車：回生ブレーキのエネルギー回収

【この問題の実用的意味】

1.52Jというエネルギーは小さく見えますが、これは設計上重要な値です：

・機器の安全設計（放電時の危険性評価）

・エネルギー効率の計算

・保護回路の設計基準

特に高電圧機器では、蓄積エネルギーが人体に危険を与える可能性があるため、正確な計算が必要不可欠なんです。

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【よくある間違いとその対策】

1. 定常状態の理解不足

・❌ 交流のようにインピーダンスで計算してしまう

・⭕ 直流定常状態では「コイル短絡、コンデンサ開放」

2. 単位変換ミス

・❌ mH、μFをそのまま使用

・⭕ H、Fに変換してから計算（×10⁻³、×10⁻⁶）

3. エネルギー公式の混同

・❌ コイル：\(\frac{1}{2}LV^2\)、コンデンサ：\(\frac{1}{2}CI^2\)

・⭕ コイル：\(\frac{1}{2}LI^2\)、コンデンサ：\(\frac{1}{2}CV^2\)

4. 回路解析ミス

・❌ 各素子に異なる電流・電圧を考えてしまう

・⭕ 簡略化した回路で正確に電流・電圧を求める

【重要ポイントまとめ】

✅ 定常状態での素子の扱い：コイル短絡、コンデンサ開放

✅ エネルギー公式：コイル \(\frac{1}{2}LI^2\)、コンデンサ \(\frac{1}{2}CV^2\)

✅ 単位変換の確実な実行

✅ 過渡現象の物理的理解

答え：(5) 1.52

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