【理論】平成22年 問9｜Y結線の三相交流回路における電圧・電流・電力関係に関する論説問題
\( \mathrm{Y} \)結線の対称三相交流電源に\( \mathrm{Y} \)結線の平衡三相抵抗負荷を接続した場合を考える。
負荷側における線間電圧を\( V_{\mathrm{ℓ}} \) [V]，線電流を\( I_{\mathrm{ℓ}} \) [A]，相電圧を\( V_{\mathrm{p}} \) [V]，相電流を\( I_{\mathrm{p}} \) [A]，各相の抵抗を\( R \) [Ω]，三相負荷の消費電力を\( P \) [W]とする。
このとき，誤っているのは次のうちどれか。
(1) \( V_{\mathrm{ℓ}} = \sqrt{3} V_{\mathrm{p}} \) が成り立つ。
(2) \( I_{\mathrm{ℓ}} = I_{\mathrm{p}} \) が成り立つ。
(3) \( I_{\mathrm{ℓ}} = \frac{V_{\mathrm{p}}}{R} \) が成り立つ。
(4) \( P = \sqrt{3} V_{\mathrm{p}} I_{\mathrm{p}} \) が成り立つ。
(5) 電源と負荷の中性点を中性線で接続しても，中性線に電流は流れない。
合格への方程式
三相交流の基礎
三相交流とは
三相交流は、位相が120°ずつ異なる3つの正弦波交流で構成される電力システムです。単相交流と比較して、電力の脈動が少なく、効率的な電力伝送が可能になります。工業用電源として世界中で広く使用されています。
三相交流の表現
三相交流の各相は以下のように表現されます：
- a相：\(e_{\mathrm{a}} = E_{\mathrm{m}} \sin(\omega t)\)
- b相：\(e_{\mathrm{b}} = E_{\mathrm{m}} \sin(\omega t - \frac{2\pi}{3})\)
- c相：\(e_{\mathrm{c}} = E_{\mathrm{m}} \sin(\omega t - \frac{4\pi}{3})\)
各相は120°（2π/3 rad）ずつ位相が遅れています。
三相交流の利点
- 電力脈動の低減：瞬時電力がほぼ一定
- 伝送効率向上：同じ電力を少ない導体で伝送可能
- 回転磁界生成：三相電動機の動作原理
- 平衡時の中性線不要：3線式で電力伝送可能
対称三相と平衡負荷
- 対称三相電源：各相の振幅が等しく、位相差が正確に120°
- 平衡三相負荷：各相の負荷インピーダンスが等しい
- 平衡状態：対称電源に平衡負荷を接続した理想的な状態
結線方式
三相回路の結線方式には主に2種類があります：
- Y結線（スター結線）：各相の一端を共通点（中性点）に接続
- Δ結線（デルタ結線）：各相を三角形状に接続
Y結線の特徴
Y結線の構造
Y結線（スター結線）は、3つの相巻線の一端を共通の中性点に接続し、他端を各線に接続する結線方式です。アルファベットのYの形に似ていることからY結線と呼ばれます。
Y結線の構成要素
- 相巻線：a相、b相、c相の3つの巻線
- 中性点（N）：3つの相巻線が接続される共通点
- 線導体：a線、b線、c線の3本（中性線を含めると4本）
- 中性線：中性点から引き出される導体（必要に応じて設置）
電圧の定義
- 相電圧（Vp）：各相巻線の両端間電圧（線と中性点間の電圧）
- 線間電圧（Vℓ）：異なる線導体間の電圧
例：Van、Vbn、Vcnが相電圧、Vab、Vbc、Vcaが線間電圧
電流の定義
- 相電流（Ip）：各相巻線を流れる電流
- 線電流（Iℓ）：各線導体を流れる電流
Y結線では、各相巻線と線導体は直列に接続されているため、相電流と線電流は等しくなります。
Y結線の特徴まとめ
- 電流関係：Iℓ = Ip（線電流 = 相電流）
- 電圧関係：Vℓ = √3 Vp（線間電圧 = √3 × 相電圧）
- 中性点：平衡時は中性点電位が0V
- 用途：電力系統、大型電動機、変圧器など
電圧・電流関係
Y結線における相電圧と線間電圧の関係
Y結線において、線間電圧は相電圧のベクトル差として求められます。対称三相の場合、線間電圧の大きさは相電圧の√3倍となります。
線間電圧の導出
線間電圧Vabを例に取ると：
\[ \vec{V}_{\mathrm{ab}} = \vec{V}_{\mathrm{an}} - \vec{V}_{\mathrm{bn}} \]対称三相の場合、VanとVbnの位相差は120°なので：
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$$ |\vec{V}_{\mathrm{ab}}| = \sqrt{V_{\mathrm{an}}^2 + V_{\mathrm{bn}}^2 - 2V_{\mathrm{an}}V_{\mathrm{bn}}\cos(120^\circ)} $$→ 横スクロールして下さい →
Van = Vbn = Vp、cos(120°) = -1/2 を代入すると：
\[ \begin{aligned} |\vec{V}_{\mathrm{ab}}| &= \sqrt{V_{\mathrm{p}}^2 + V_{\mathrm{p}}^2 - 2V_{\mathrm{p}} \cdot V_{\mathrm{p}} \cdot (-\frac{1}{2})} \\[10pt] &= \sqrt{V_{\mathrm{p}}^2 + V_{\mathrm{p}}^2 - 2V_{\mathrm{p}}^2 \cdot (-\frac{1}{2})} \\[10pt] &= \sqrt{V_{\mathrm{p}}^2 + V_{\mathrm{p}}^2 + V_{\mathrm{p}}^2} \\[10pt] &= \sqrt{3V_{\mathrm{p}}^2} \\[10pt] &= \sqrt{3}V_{\mathrm{p}} \end{aligned} \]Y結線の基本関係式
- 電圧関係：Vℓ = √3 Vp
- 電流関係：Iℓ = Ip
- 位相関係：線間電圧は相電圧より30°進み
抵抗負荷における電流計算
各相に抵抗Rが接続されている場合：
\[ I_{\mathrm{p}} = \frac{V_{\mathrm{p}}}{R} \]Y結線では Iℓ = Ip なので：
\[ I_{\mathrm{ℓ}} = \frac{V_{\mathrm{p}}}{R} \]線間電圧で表現すると：
\[ I_{\mathrm{ℓ}} = \frac{V_{\mathrm{ℓ}}}{\sqrt{3}R} \]Δ結線との比較
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| 項目 | Y結線 | Δ結線 |
|---|---|---|
| 電圧関係 | \(V_{\ell} = \sqrt{3} V_{\mathrm{p}}\) | \(V_{\ell} = V_{\mathrm{p}}\) |
| 電流関係 | \(I_{\ell} = I_{\mathrm{p}}\) | \(I_{\ell} = \sqrt{3} I_{\mathrm{p}}\) |
| 中性点 | あり | なし |
| 線数 | 3線式または4線式 | 3線式 |
三相電力計算
三相電力の基本
三相回路の電力は、各相の電力の和として計算されます。平衡負荷の場合、各相の電力は等しいため、1相分の電力を3倍すれば全体の電力が得られます。
Y結線における電力計算（相値使用）
各相の消費電力：
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\[ P_{\mathrm{phase}} = V_{\mathrm{p}} I_{\mathrm{p}} \cos\phi \]三相全体の消費電力：
\[ P = 3V_{\mathrm{p}} I_{\mathrm{p}} \cos\phi \]抵抗負荷の場合（cosφ = 1）：
\[ P = 3V_{\mathrm{p}} I_{\mathrm{p}} \]Y結線における電力計算（線間値使用）
線間電圧と線電流で表現する場合：
Vℓ = √3 Vp、Iℓ = Ip の関係を使用して：
\[ P = 3 \cdot \frac{V_{\mathrm{ℓ}}}{\sqrt{3}} \cdot I_{\mathrm{ℓ}} \cos\phi = \sqrt{3} V_{\mathrm{ℓ}} I_{\mathrm{ℓ}} \cos\phi \]抵抗負荷の場合：
\[ P = \sqrt{3} V_{\mathrm{ℓ}} I_{\mathrm{ℓ}} \]電力公式の使い分け
- 相値使用：P = 3VpIpcosφ（Y結線、Δ結線共通）
- 線間値使用：P = √3VℓIℓcosφ（Y結線、Δ結線共通）
どちらの公式を使っても同じ結果が得られます。
よくある間違い
問題文で「P = √3VpIp」という式が示された場合、これは誤りです。正しくは：
- P = 3VpIp（相値使用）
- P = √3VℓIℓ（線間値使用）
相値と線間値を混同しないよう注意が必要です。
電力の別表現
抵抗負荷における電力は以下のようにも表現できます：
\[ \begin{aligned} P &= 3I_{\mathrm{p}}^2 R = 3I_{\mathrm{ℓ}}^2 R \\[10pt] P &= 3\frac{V_{\mathrm{p}}^2}{R} = \frac{V_{\mathrm{ℓ}}^2}{R} \end{aligned} \]中性線と平衡負荷
中性線の役割
中性線は、Y結線において電源側と負荷側の中性点を結ぶ導体です。平衡負荷では中性線に電流は流れませんが、不平衡負荷では中性線が重要な役割を果たします。
平衡負荷における中性線電流
平衡負荷の場合、各相電流の和は零になります：
\[ \vec{I}_{\mathrm{a}} + \vec{I}_{\mathrm{b}} + \vec{I}_{\mathrm{c}} = 0 \]キルヒホッフの電流則により、中性線電流Inは：
\[ \vec{I}_{\mathrm{n}} = -(\vec{I}_{\mathrm{a}} + \vec{I}_{\mathrm{b}} + \vec{I}_{\mathrm{c}}) = 0 \]したがって、平衡負荷では中性線に電流は流れません。
中性点電位
対称三相電源に平衡負荷を接続した場合：
- 電源側中性点：各相電圧の中性点として電位0V
- 負荷側中性点：同様に電位0V
- 電位差：電源側と負荷側の中性点間の電位差は0V
中性線の必要性
- 平衡負荷：理論上は中性線不要（3線式で運用可能）
- 不平衡負荷：中性線が必要（4線式で運用）
- 実用面：安全性確保のため通常は中性線を設置
不平衡負荷での中性線効果
不平衡負荷の場合、中性線がないと：
- 負荷側中性点の電位が変動
- 各相電圧が不均等になる
- 負荷の動作に悪影響
中性線があると、負荷側中性点電位が安定し、各相に定格電圧が印加されます。
実際の配電系統
実際の低圧配電系統では：
- 3相4線式：工業用（三相負荷 + 単相負荷）
- 単相3線式：家庭用（単相負荷のみ）
- 中性線の接地：安全確保のため接地
計算例題
例題1: Y結線の電圧・電流関係
Y結線の三相電源において、相電圧が200Vの場合、線間電圧はいくらか。
解答
Y結線における線間電圧と相電圧の関係式：
\[ V_{\mathrm{ℓ}} = \sqrt{3} V_{\mathrm{p}} \]値を代入すると：
\[ V_{\mathrm{ℓ}} = \sqrt{3} \times 200 = 346.4 \mathrm{\ V} \]よって、線間電圧は約346Vです。
例題2: 三相電力の計算
Y結線の平衡三相抵抗負荷において、各相の抵抗が10Ω、相電圧が100Vの場合、三相消費電力を求めよ。
解答
まず相電流を計算：
\[ I_{\mathrm{p}} = \frac{V_{\mathrm{p}}}{R} = \frac{100}{10} = 10 \mathrm{\ A} \]三相電力を計算：
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\[ P = 3V_{\mathrm{p}}I_{\mathrm{p}} = 3 \times 100 \times 10 = 3000 \mathrm{\ W} = 3 \mathrm{\ kW} \]よって、三相消費電力は3kWです。
例題3: 線間値による電力計算
線間電圧400V、線電流5Aの平衡三相抵抗負荷の消費電力を求めよ。
解答
線間値を用いた三相電力の公式：
\[ P = \sqrt{3} V_{\mathrm{ℓ}} I_{\mathrm{ℓ}} \]値を代入すると：
→ 横スクロールして下さい →
\[ P = \sqrt{3} \times 400 \times 5 = 1732 \times 5 = 3464 \mathrm{\ W} \approx 3.46 \mathrm{\ kW} \]よって、消費電力は約3.46kWです。
例題4: 誤りの判定
Y結線平衡負荷について、次のうち誤っているものはどれか。
- P = 3VpIp
- P = √3VpIp
- P = √3VℓIℓ
- Iℓ = Ip
解答：(2)
相値を用いる場合の正しい電力式は P = 3VpIp です。√3がつくのは線間値を用いる場合（P = √3VℓIℓ）なので、(2)は相値と線間値を混同した誤りです。
計算時の注意点
- 電圧・電流の区別：相値（Vp, Ip）と線間値（Vℓ, Iℓ）を正確に区別
- √3の位置：Y結線では電圧に√3、Δ結線では電流に√3
- 電力公式：相値使用時は係数3、線間値使用時は係数√3
- 単位変換：V、A、Ω、Wの単位を統一
🔍 ワンポイントアドバイス： Y結線の問題では「電圧に√3、電流は等しい」「電力は相値で3倍、線間値で√3倍」という基本関係を確実に覚えましょう。特に電力計算では、相値（P=3VpIp）と線間値（P=√3VℓIℓ）を混同しないよう注意が必要です。また、平衡負荷では中性線電流は0になることも重要なポイントです。問題では図を描いてベクトル関係を確認すると理解が深まります。
理論 Y結線三相回路の特性
三相回路では線間電圧と相電圧、線電流と相電流の関係が重要やねん。
Y結線とΔ結線で関係が違うから、それぞれきちんと理解しておく必要があるで。
Y結線では線間電圧は相電圧の何倍になるやろか？
三相の相電圧は互いに120°位相差を持っており、線間電圧は2つの相電圧のベクトル差となります。
例えば、a相とb相の線間電圧V_abは、V_aからV_bを引いたベクトルになります。
この計算を行うと、線間電圧の大きさは相電圧の√3倍になります。
つまり、\(V_{\mathrm{ℓ}} = \sqrt{3}V_{\mathrm{p}}\)が成り立ちます。
したがって、(1)の記述は正しいです。
解説
正解は (4) です。
各選択肢の詳しい解説：
- (1) 正しい：Y結線では、線間電圧は相電圧の√3倍になります。これは3つの相電圧が120°ずつ位相差を持っているため、線間電圧（2つの相電圧のベクトル差）が√3倍になるからです。\(V_{\mathrm{ℓ}} = \sqrt{3}V_{\mathrm{p}}\)
- (2) 正しい：Y結線では各相が直列に接続されているため、線電流と相電流は同じ値になります。\(I_{\mathrm{ℓ}} = I_{\mathrm{p}}\)
- (3) 正しい：各相の抵抗がRの場合、オームの法則により相電流は\(I_{\mathrm{p}} = \frac{V_{\mathrm{p}}}{R}\)となり、Y結線では線電流と相電流が等しいため、\(I_{\mathrm{ℓ}} = \frac{V_{\mathrm{p}}}{R}\)が成り立ちます。
- (4) 誤り：三相負荷の消費電力を相電圧・相電流で表現する場合は、各相の電力\(V_{\mathrm{p}}I_{\mathrm{p}}\)の3倍となるため、\(P = 3V_{\mathrm{p}}I_{\mathrm{p}}\)が正しい式です。選択肢の\(P = \sqrt{3}V_{\mathrm{p}}I_{\mathrm{p}}\)は誤りです。なお、線間電圧・線電流で表現する場合は\(P = \sqrt{3}V_{\mathrm{ℓ}}I_{\mathrm{ℓ}}\)となります。
- (5) 正しい：三相平衡負荷では、各相の電流のベクトル和が0になるため、中性線には電流が流れません。また、電源側と負荷側の中性点電位も等しくなるため、中性線に電位差も生じません。
Y結線とΔ結線では電圧・電流・電力の関係が異なるため、それぞれの特性を正確に理解しておくことが重要です。特に電力の計算では、相電圧・相電流表示と線間電圧・線電流表示で係数が変わることに注意が必要です。
この問題のポイント
- Y結線の電圧関係：\(V_{\mathrm{ℓ}} = \sqrt{3}V_{\mathrm{p}}\)
- Y結線の電流関係：\(I_{\mathrm{ℓ}} = I_{\mathrm{p}}\)
- 三相電力（相表示）：\(P = 3V_{\mathrm{p}}I_{\mathrm{p}}\)
- 三相電力（線表示）：\(P = \sqrt{3}V_{\mathrm{ℓ}}I_{\mathrm{ℓ}}\)
- 三相平衡時の中性線電流は0