【過渡現象】RL回路の計算問題を完全攻略｜時定数・電流電圧・到達時間【電験三種 理論】
τ=L/Rの計算テクニック、電流・電圧の数値計算、対数による到達時間、グラフ読み取り実戦演習
さあ、第13講「RL回路の計算問題」に入るで！
第10〜12講でRL回路の公式と波形パターンを学んだな。今回はそれを電験三種の計算問題で使いこなすための実戦トレーニングや。
RC回路の計算（第8講）でやった4つのパターンを覚えてるか？RL回路でも全く同じ4パターンで解けるんや。ただしτの公式がL/R（割り算）になるのと、主役が電流になるのが違うポイントやで。
📝 4つの計算パターン
🔹 パターン1：τ = L/R の計算（単位変換・合成抵抗）
🔹 パターン2：特定時刻 t での電流 i(t) や電圧 vL(t) の値
🔹 パターン3：対数を使った到達時間の逆算
🔹 パターン4：グラフ読み取り → τ → 回路定数の逆算
RC回路計算と「双子の関係」やから、RC回路で慣れたパターンをそのまま使えるで。違いは τ = CR → L/R と、主役が電圧 → 電流に変わるだけや！
パターン1：τ = L/R の計算からスタートや。
RL回路の時定数は \( \tau = \dfrac{L}{R} \) で計算する。RC回路の τ = CR は「掛け算」やったけど、RL回路は「割り算」やから、計算ミスしやすいポイントがちょっと違うんや。
基本の3ステップ
① L の単位を [H] に統一する（mH → H は ×10⁻³）
② R の単位を [Ω] に統一する（kΩ → Ω は ×10³）
③ τ = L ÷ R を計算する
計算例1：基本
L = 0.5 H、R = 250 Ω
\( \tau = \dfrac{0.5}{250} = 0.002\,\text{s} = 2\,\text{ms} \)
計算例2：単位変換あり
L = 200 mH、R = 4 kΩ
\( \tau = \dfrac{200 \times 10^{-3}}{4 \times 10^{3}} = \dfrac{0.2}{4000} = 5 \times 10^{-5}\,\text{s} = 50\,\mu\text{s} \)
⚠️ RL回路のτ計算で多いミス
❌ τ = L × R としてしまう → 割り算が正解！
❌ mH → H の変換忘れ（×10⁻³ を忘れて1000倍の答えになる）
❌ kΩ → Ω の変換忘れ（結果が1000分の1になる）
💡 RC回路では τ = CR で掛け算やったから、つい癖で掛けてしまうことがある。RL回路は「Lの方が偉い（分子）」と覚えよう！
電験三種では、複数の抵抗がある回路でのτ計算も頻出や。この場合、まず合成抵抗を求めてからτを計算するんやで。
具体例：合成抵抗 → τ
R₁ = 30 Ω、R₂ = 60 Ω、R₃ = 60 Ω、L = 0.3 H
まず並列：\( R_{2//3} = \dfrac{60 \times 60}{60 + 60} = 30\,\Omega \)
合成抵抗：\( R = R_1 + R_{2//3} = 30 + 30 = 60\,\Omega \)
\( \tau = \dfrac{L}{R} = \dfrac{0.3}{60} = 0.005\,\text{s} = 5\,\text{ms} \)
ポイントは「インダクタから見た合成抵抗」を正しく求めることや。電源を短絡してインダクタの端子から見た抵抗を使うんやで。
τの計算を素早くするためのショートカットを紹介するで。
RC回路のτ計算（第8講）で使った「単位ショートカット」のRL版や。RL回路では割り算やから、ちょっとパターンが違うんやで。
ショートカット公式（RL回路）
\( \tau = \dfrac{L\,[\text{H}]}{R\,[\Omega]} = \text{[s]} \) ← 基本形
\( \tau = \dfrac{L\,[\text{mH}]}{R\,[\Omega]} = \text{[ms]} \) ← mHとΩならmsが出る！
\( \tau = \dfrac{L\,[\mu\text{H}]}{R\,[\Omega]} = \text{[}\mu\text{s]} \) ← μHとΩならμsが出る！
つまり「L の接頭辞がそのままτの接頭辞になる」というルールがあるんや（R が [Ω] の場合）。RC回路の τ = CR とは違うルールやから混同注意やで。
ショートカット活用例
L = 80 mH、R = 40 Ω
→ τ = 80/40 = 2 [mH/Ω] = 2 ms（一瞬で計算完了！）
⚠️ R が kΩ のときは注意！
L [mH] ÷ R [kΩ] = τ [μs]（分子と分母のmとkが打ち消される）
例：L = 50 mH、R = 5 kΩ → τ = 50/5 = 10 μs
自信がなければ素直にSI単位（H, Ω）に揃えよう！
ほな、パターン1の問題や！
RL直列回路で R₁ = 20 Ω と R₂ = 60 Ω が並列に接続され、その合成抵抗に L = 30 mH のインダクタが直列に接続されている。時定数 τ [ms] はいくらか。
合成抵抗 → τ の手順を確認しよか。
ステップ整理
① 並列合成：R = 20×60/(20+60) = 1200/80 = 15 Ω
② ショートカット：τ = 30 [mH] / 15 [Ω] = 2 [ms]
（mH ÷ Ω = ms のショートカット活用！）
R = 100 Ω、L = 500 mH の RL 回路の τ [ms] は？
ええぞ！ほな発展問題や。
RL回路で τ = 4 ms を実現したい。L = 200 mH のインダクタを使う場合、必要な抵抗 R [Ω] はいくらか。
パターン2：特定時刻での電流・電圧の計算や。「t = ○○ s のとき i(t) はいくらか」という問題やな。
この手の問題は3ステップ解法テンプレートで確実に解けるで。RC回路の第8講で学んだのと同じ構造や。
3ステップ解法テンプレート
Step ①：τ を求める → τ = L/R
Step ②：t/τ を計算する
Step ③：公式に代入して計算する
具体例：電流増加の計算
E = 100 V、R = 50 Ω、L = 0.1 H のRL回路。t = 4 ms での i(t) は？
① τ = L/R = 0.1/50 = 0.002 s = 2 ms
② t/τ = 4/2 = 2
③ 代入：\( i(t) = \dfrac{E}{R}(1 - e^{-t/\tau}) = \dfrac{100}{50}(1 - e^{-2}) \)
\( = 2 \times (1 - 0.135) = 2 \times 0.865 = 1.73\,\text{A} \)
Step②で t/τ が整数（1, 2, 3...）になれば、暗記値がそのまま使えるから計算が楽になるで。
電流 i(t) が計算できたら、電圧 vL(t) と vR(t) も同時に求められるで。
電流増加時の公式セット
\( i(t) = \dfrac{E}{R}(1 - e^{-t/\tau}) \) ← 上昇型
\( v_L(t) = E \cdot e^{-t/\tau} \) ← 減衰型
\( v_R(t) = E(1 - e^{-t/\tau}) \) ← 上昇型（= Ri）
電流減衰時の公式セット
\( i(t) = \dfrac{E}{R} \cdot e^{-t/\tau} \) ← 減衰型
\( v_L(t) = -E \cdot e^{-t/\tau} \) ← 減衰型（マイナス）
\( v_R(t) = E \cdot e^{-t/\tau} \) ← 減衰型（= Ri）
具体例：電圧の同時計算
E = 100 V、R = 50 Ω、L = 0.1 H、t = 2 ms（= τ）
\( v_L(\tau) = 100 \times e^{-1} = 100 \times 0.368 = 36.8\,\text{V} \)
\( v_R(\tau) = 100 \times (1 - e^{-1}) = 100 \times 0.632 = 63.2\,\text{V} \)
検算：vL + vR = 36.8 + 63.2 = 100 V = E ✅（KVL成立！）
📌 KVLで検算する習慣をつけよう！
⚡ 電流増加時：E = vR(t) + vL(t) ← 常に成立
⚡ 計算した vR と vL の合計が E になるか確認
⚡ 一致しなかったら、どこかで計算ミスしてる証拠！
パターン2の計算で暗記値を使えば電卓不要になるケースがあるで。
暗記値の活用パターン
問題で t/τ = 1 → e⁻¹ = 0.368、(1-e⁻¹) = 0.632
問題で t/τ = 2 → e⁻² = 0.135、(1-e⁻²) = 0.865
問題で t/τ = 3 → e⁻³ = 0.050、(1-e⁻³) = 0.950
問題で t/τ = 5 → e⁻⁵ ≈ 0、(1-e⁻⁵) ≈ 1（実質完了）
電験三種の問題はt/τ が整数になるように作られていることが多いんや。問題を見たらまず τ を計算して、t/τ が整数かどうかチェックするのが鉄板の解法やで。
ほな、パターン2の問題や！
RL直列回路（E = 200 V、R = 100 Ω、L = 0.2 H）にスイッチを投入した。t = 2 ms での電流 i(t) [A] はいくらか。
3ステップテンプレートで解こか。
3ステップ解法
① τ = L/R = 0.2/100 = 0.002 s = 2 ms
② t/τ = 2/2 = 1（整数！→暗記値が使える）
③ i(τ) = (E/R) × 0.632 = 2 × 0.632 = 1.26 A
同じ回路で t = 4 ms での vL [V] はいくらか。
ええぞ！ほな発展問題や。
同じRL回路（E = 200 V、R = 100 Ω、L = 0.2 H）でスイッチ投入後 t = 2 ms での vR [V] と vL [V] をそれぞれ求め、KVL（E = vR + vL）が成立することを確認せよ。vR の値はいくらか。
パターン3：対数を使った到達時間の逆算。「電流が○○Aに達するまでの時間は？」という問題や。
この計算は自然対数（ln）を使うんやけど、電験三種では必ず問題文にln の値が与えられるから、対数の公式を暗記する必要はないで。
到達時間の導出手順
① 公式に目標値を代入：\( i_{target} = \dfrac{E}{R}(1 - e^{-t/\tau}) \)
② 両辺を E/R で割る：\( \dfrac{i_{target}}{E/R} = 1 - e^{-t/\tau} \)
③ 整理：\( e^{-t/\tau} = 1 - \dfrac{i_{target}}{E/R} \)
④ 両辺にlnを取る：\( -\dfrac{t}{\tau} = \ln\left(1 - \dfrac{i_{target}}{E/R}\right) \)
⑤ \( t = -\tau \ln\left(1 - \dfrac{i_{target}}{E/R}\right) \)
具体例
E = 100 V、R = 50 Ω、L = 0.1 H。i = 1 A に達する時刻は？
τ = L/R = 0.1/50 = 0.002 s = 2 ms
最終値 E/R = 100/50 = 2 A → i/E/R = 1/2 = 0.5
\( t = -0.002 \times \ln(1 - 0.5) = -0.002 \times \ln(0.5) \)
\( = -0.002 \times (-0.693) = 0.001386\,\text{s} \approx 1.39\,\text{ms} \)
📌 よく使う ln の値（電験三種で出題される値）
⚡ ln 2 ≈ 0.693（最頻出！半分に到達する時間）
⚡ ln 3 ≈ 1.099
⚡ ln 10 ≈ 2.303
⚡ ln(1/2) = -ln 2 ≈ -0.693（マイナスに注意）
電流増加の到達時間がわかったところで、次は減衰時の到達時間や。
「電流が定常値から○○Aまで減衰するのにかかる時間は？」という問題やな。
減衰時の到達時間公式
\( i(t) = \dfrac{E}{R} \cdot e^{-t/\tau} = i_{target} \)
\( e^{-t/\tau} = \dfrac{i_{target}}{E/R} \)
\( -\dfrac{t}{\tau} = \ln\left(\dfrac{i_{target}}{E/R}\right) \)
\( t = -\tau \ln\left(\dfrac{i_{target}}{E/R}\right) \)
具体例
E = 100 V、R = 50 Ω、L = 0.1 H。定常電流 2 A から 1 A に減衰するまでの時間は？
τ = 0.002 s、i/I₀ = 1/2 = 0.5
\( t = -0.002 \times \ln(0.5) = -0.002 \times (-0.693) = 1.39\,\text{ms} \)
面白いことに、増加時に半分（E/2R）に到達する時間と減衰時に半分（E/2R）に減衰する時間は、どちらも τ×ln2 ≈ 0.693τ で全く同じなんや。これも指数関数の対称性やで。
暗記値で解けるパターンの見分け方
目標値が最終値の 63.2% → t = τ（暗記値そのまま）
目標値が最終値の 86.5% → t = 2τ
目標値が最終値の 95.0% → t = 3τ
目標値が最終値の 50.0% → t = τ ln2 ≈ 0.693τ（対数計算）
それ以外の端数 → 問題文のln値を使って対数計算
ここでRC回路（第8講）とRL回路の計算の違いを整理するで。パターンは全く同じやけど、数値を当てはめる位置が違うんや。
| 項目 | RC回路 | RL回路 |
|---|---|---|
| 時定数τ | τ = CR （掛け算） | τ = L/R （割り算） |
| 上昇する量 | vc（電圧） 0 → E | i（電流） 0 → E/R |
| 減衰する量 | i（電流） E/R → 0 | vL（電圧） E → 0 |
| 上昇の公式 | vc = E(1-e^(-t/τ)) | i = (E/R)(1-e^(-t/τ)) |
| 減衰の公式 | vc = E·e^(-t/τ) | i = (E/R)·e^(-t/τ) |
| R↑の影響 | τ↑（遅い） | τ↓（速い） |
| KVL検算 | E = vc + vR | E = vL + vR |
📌 覚え方のコツ
⚡ RC回路：電圧vcが主役（上昇型） → 電流iは脇役（減衰型）
⚡ RL回路：電流iが主役（上昇型） → 電圧vLは脇役（減衰型）
⚡ 「主役は上昇、脇役は減衰」の法則は共通！
⚡ 3ステップ解法（τ計算→t/τ→代入）も全く同じ手順！
ほな、パターン3の到達時間の計算問題や！
RL直列回路（E = 120 V、R = 60 Ω、L = 0.3 H）にスイッチを投入した。電流が最終値の半分に到達するまでの時間 t [ms] はいくらか。ただし、ln 2 ≈ 0.693 とする。
到達時間の計算を手順通りに解こか。
ステップ整理
① τ = L/R = 0.3/60 = 0.005 s = 5 ms
② 最終値の半分 → e^(-t/τ) = 0.5
③ t = -τ × ln(0.5) = -5 × (-0.693) = 3.465 ms ≈ 3.47 ms
同じ回路で電流が最終値の95%に到達する時間 [ms] は？（暗記値を使用）
ええぞ！ほな発展問題や。
RL回路（E = 120 V、R = 60 Ω、L = 0.3 H）でスイッチ開放後（定常電流 2 A から減衰開始）、電流が 0.2 A まで減衰するのにかかる時間 [ms] はいくらか。ただし ln 10 ≈ 2.303 とする。
最後のパターン！パターン4：グラフ読み取り → τ → 回路定数の逆算や。
電験三種では「波形のグラフが与えられて、そこからτを読み取り、未知の回路定数（LやR）を求めよ」という問題が頻出やで。
グラフ読み取り → 回路定数計算の手順
① グラフから最終値を読む → E/R = 2 A
② 最終値の63.2% = 1.264 A の位置で時刻を読む → t = 5 ms
③ τ = 5 ms = 0.005 s と確定
④ R がわかっていれば → L = τR で L を算出
例：R = 100 Ω なら L = 0.005 × 100 = 0.5 H
📌 グラフ読み取り3つの方法（復習）
⚡ 方法1：63.2%（上昇型）or 36.8%（減衰型）の位置からτを読む
⚡ 方法2：初期傾き接線が最終値に達する位置からτを読む
⚡ 方法3：95%到達時刻を読んで 3 で割る（3τ→95%の逆算）
パターン4の電験三種での典型的な出題パターンを見ていこう。
典型パターンA：L を求める問題
「グラフから τ = 10 ms と読み取れた。R = 200 Ω のとき L [H] はいくらか。」
τ = L/R → L = τR = 0.01 × 200 = 2.0 H
典型パターンB：R を求める問題
「L = 0.5 H のRL回路。グラフから τ = 5 ms と読み取れた。R [Ω] はいくらか。」
τ = L/R → R = L/τ = 0.5/0.005 = 100 Ω
典型パターンC：E を求める問題
「グラフの最終電流が 4 A、R = 25 Ω のとき、電源電圧 E [V] はいくらか。」
最終電流 = E/R → E = I₀ × R = 4 × 25 = 100 V
どのパターンでも、まずグラフからτと最終値を正確に読み取るのが最初のステップ。読み取りを間違えると全部ずれるから、グラフの目盛りは慎重に読もう！
問題演習の前に、RL回路の計算で特に多いミスを確認しとくで。RC回路と共通するミスもあるけど、RL回路特有のミスもあるんや。
ミス① τ = L × R としてしまう
❌ τ = 0.2 × 100 = 20（掛け算）
✅ τ = 0.2 / 100 = 0.002 s（割り算が正解！）
💡 RC回路の τ = CR（掛け算）と混同する人が多い
ミス② 最終値をEとしてしまう
❌ i(∞) = E（これはRC回路のvc(∞) = E の話）
✅ i(∞) = E/R（RL回路の最終電流はオームの法則）
💡 RC: 最終電圧=E、RL: 最終電流=E/R を区別！
ミス③ R↑で「τ↑」と反射的に答える
❌ RC回路の癖で「R大きい→τ大きい」と答える
✅ RL回路では R↑ → τ↓（Rは分母にある！）
💡 必ず公式を確認してから答えよう
ミス④ 単位変換の漏れ
❌ L = 50 mH → τ = 50/100 = 0.5 s（mH→Hの変換忘れ）
✅ L = 50 mH = 0.05 H → τ = 0.05/100 = 0.5 ms
💡 ショートカット：mH/Ω = ms を使えば変換不要
ミス⑤ 対数のマイナスを落とす
❌ t = τ × ln(0.5) = 5 × (-0.693) = -3.47 ms（マイナスのまま）
✅ t = -τ × ln(0.5) = -5 × (-0.693) = 3.47 ms（正の値！）
💡 公式のマイナスを忘れずに！時間は常にプラス
最後の総合問題や！グラフ読み取り → 回路定数の逆算やで。
RL直列回路のスイッチ投入後の電流グラフから、最終電流 I₀ = 4 A、τ = 8 ms と読み取れた。電源電圧 E = 200 V のとき、インダクタンス L [H] はいくらか。
グラフ読み取り → L の算出手順を確認しよか。
ステップ整理
① I₀ = E/R → R = E/I₀ = 200/4 = 50 Ω
② τ = L/R → L = τ × R
③ L = 0.008 × 50 = 0.4 H
💡 まずRを求めてからLを算出するのがコツ！
同じ回路で τ を 2 倍にしたい。L を変えずに実現するには R を何 Ω にすればよいか。
ええぞ！ほな発展問題や。
RL回路（E = 200 V、L = 0.4 H）の電流グラフから τ = 8 ms と読み取れた。スイッチ投入後 t = 16 ms でのインダクタ電圧 vL [V] はいくらか。
💡 まず R を求め → t/τ を計算 → vL の公式に代入
4つの計算パターンをまとめたチートシートやで。電験三種の過去問を解くときにこの表を見返してほしい！
RC回路（第8講）で学んだ4パターンと全く同じ構造やろ？τの公式と主役（電圧→電流）を入れ替えるだけで、解法はそのまま使えるんや。
お疲れさま！第13講「RL回路の計算問題」の総まとめや。
📝 第13講のポイント総整理
🔹 パターン1：τ = L/R（割り算！単位変換 mH→H を忘れずに）
🔹 パターン2：3ステップ解法（①τ ②t/τ ③代入）+ KVLで検算
🔹 パターン3：t = -τ ln(…) で到達時間を逆算（マイナス符号注意）
🔹 パターン4：グラフから63.2%位置でτを読み取り → L=τR で逆算
🔹 最重要：RC回路計算と「双子」→ τの公式と主役を入れ替えるだけ！
これでPart 3「RL回路の過渡現象」の全4講（第10〜13講）が完了や！RC回路とRL回路の公式・波形・計算方法を全て学んだことになるで。
次の第14講「Part 3 まとめ」では、RL回路の全知識を総復習するで。第10〜13講で学んだ内容がちゃんと定着してるか、最終チェックや！
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