点電荷の電界と電位の公式【電験三種 理論】
計算問題を徹底マスター！
よっしゃ！静電気の第6講スタートや！
今回のテーマは「点電荷のまわりの電界と電位」や。
これまで学んだ電界と電位の公式を使って、実際の計算問題をガンガン解いていくで！試験で頻出やから、しっかりマスターしよな。
📚 この講座で学ぶこと
✅ 電界と電位の公式を使いこなす
✅ 距離変化による電界・電位の変化を計算する
✅ 複数電荷による電界の合成を計算する
✅ 複数電荷による電位の重ね合わせを計算する
✅ 電界がゼロになる点を求める
まず、点電荷の公式を復習しとこか！
前回までに学んだ2つの公式、これが静電気計算の基本中の基本やで。しっかり覚えてな！
💡 電界と電位の違いを整理！
・電界E：「力」に関係 →「1Cあたりに働く力」→ ベクトル（向きあり）
・電位V：「エネルギー」に関係 →「1Cあたりの位置エネルギー」→ スカラー（向きなし）
電界は「どっち向きに力が働くか」が大事やけど、電位は「どれだけ高いか」だけが大事なんや。
📌 2つの公式の違い
・電界E：距離の2乗に反比例（ベクトル量）→ 合成は「向き」を考慮
・電位V：距離の1乗に反比例（スカラー量）→ 合成は単純な足し算
この「r²」と「r」の違い、めっちゃ大事やで！試験でよく引っかけ問題が出るから注意してな。
距離が変わると電界と電位はどう変わるか？これ、めっちゃ大事やで！
試験で「距離が2倍になったら電界は？」みたいな問題がよく出るから、ここはしっかり押さえとこ。
距離が n 倍になると…
・電界E → 1/n²倍（逆2乗）→ 距離2倍で1/4、3倍で1/9
・電位V → 1/n倍（逆1乗）→ 距離2倍で1/2、3倍で1/3
💡 なぜ電界は「2乗」で電位は「1乗」なの？
電界は「力」に関係してて、クーロンの法則 F = kQ₁Q₂/r² から来てるんや。
電位は「エネルギー÷電荷」で、仕事 W = F×距離 の関係から r が1つ消えるんやで。
数学的には、電界Eを距離で積分すると電位Vになる。微積分の関係やな！
距離2倍で電界は1/4、電位は1/2。この違いを覚えとき！試験で混同したら痛い失点になるで。
計算のコツを教えとくで！
📌 計算テクニック
① k = 9×10⁹ は必ず使うから覚える
② 指数計算は 10^a × 10^b = 10^(a+b) を活用
③ マイクロ（μ）= 10⁻⁶ を即座に変換
よく出る電荷の大きさ
・1 μC（マイクロクーロン）= 1×10⁻⁶ C
・1 nC（ナノクーロン）= 1×10⁻⁹ C
・1 pC（ピコクーロン）= 1×10⁻¹² C
計算例：Q = 2μC、r = 3m の電界
\( E = 9 \times 10^9 \times \dfrac{2 \times 10^{-6}}{3^2} \)
\( = 9 \times 10^9 \times \dfrac{2 \times 10^{-6}}{9} = 2 \times 10^3 \) [V/m]
ほな、計算問題いくで！
+4×10⁻⁶ C の点電荷から 2m 離れた点の電界Eと電位Vを求めよ。
（k = 9×10⁹ N・m²/C²）
OK、一緒に計算しよか。
電界Eの計算
\( E = k\dfrac{Q}{r^2} = 9 \times 10^9 \times \dfrac{4 \times 10^{-6}}{2^2} \)
\( = 9 \times 10^9 \times \dfrac{4 \times 10^{-6}}{4} = 9 \times 10^{9-6} \)
\( = 9 \times 10^3 \) [V/m]
電位Vの計算
\( V = k\dfrac{Q}{r} = 9 \times 10^9 \times \dfrac{4 \times 10^{-6}}{2} \)
\( = 9 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-6} = 18 \times 10^3 \) [V]
E = 9×10³、V = 18×10³ で合ってる？
さすがや！ほな応用問題いくで。
同じ電荷で、電界E = 4×10³ V/m となる距離rは？
次は複数電荷による電界の合成を見ていくで。
📌 電界の合成のポイント
・電界はベクトル量
・合成するときは向きを考慮する
・同じ向き → 足す、逆向き → 引く
電界がゼロになる点の求め方を説明するで！
電界ゼロの条件
\( E_1 = E_2 \)
\( k\dfrac{Q_1}{r_1^2} = k\dfrac{Q_2}{r_2^2} \)
→ \( \dfrac{Q_1}{r_1^2} = \dfrac{Q_2}{r_2^2} \)
💡 ポイント
・同符号電荷 → 電界ゼロは2つの電荷の間
・異符号電荷 → 電界ゼロは小さい電荷の外側
次は電位の重ね合わせや。電界と違って、電位は簡単やで！
📌 電位の重ね合わせのポイント
・電位はスカラー量（向きなし）
・単純に数値を足すだけ！
・ただし符号に注意（負電荷は負の電位）
電界みたいにベクトル合成しなくていいから、電位の計算は楽やな！
ほな、問題で確認しよか！
+Q と +Q の電荷が距離 L 離れて置かれている。両電荷を結ぶ直線上で、電界がゼロになる点はどこ？
OK、考え方を整理しよか。
同符号電荷（+Q と +Q）の場合
・両電荷とも外向きに電界を作る
・中点では両方の電界が逆向きで同じ大きさ
→ 打ち消し合ってゼロになる！
💡 電荷が同じ大きさなら
電界ゼロは必ず中点！
同じ大きさの同符号電荷なら、電界ゼロは？
さすがや！ほな発展問題いくで。
+4Q と +Q の電荷が距離 L = 3m 離れて置かれている。電界がゼロになる点は +4Q から何m の位置？
次は電位がゼロになる点について説明するで！
電位ゼロの条件
\( V_1 + V_2 = 0 \)
\( k\dfrac{Q_1}{r_1} + k\dfrac{Q_2}{r_2} = 0 \)
\( \dfrac{Q_1}{r_1} = -\dfrac{Q_2}{r_2} \)（Q₂が負のとき）
📌 電界ゼロと電位ゼロの違い
・電界ゼロ：同符号→間、異符号→外側
・電位ゼロ：異符号のときに存在（間と外側の2点）
電界ゼロと電位ゼロの違いをまとめとくで！
| 電荷の組み合わせ | 電界ゼロの位置 | 電位ゼロの位置 |
|---|---|---|
| 同符号（+と+） | 2電荷の間 | 存在しない |
| 異符号（+と−） | 小さい電荷の外側 | 間と外側の2点 |
💡 超重要ポイント
・電界ゼロ ≠ 電位ゼロ（別の概念！）
・電界がゼロでも電位はゼロとは限らない
・電位がゼロでも電界はゼロとは限らない
これ、試験でよく出るから絶対覚えといてや！
三角形の頂点に電荷がある場合の考え方を説明するで。
📌 対称配置のポイント
・電位：各電荷の電位を足す
・電界：ベクトルで合成（対称なら打ち消し合う）
正三角形の重心では、3つの電界が120°ずつで打ち消し合って、電界ゼロになるんや。でも電位はゼロやないで！
ほな、問題いくで！
+Q と −Q の電荷が距離 L 離れて置かれている。両電荷の中点での電位Vはいくら？
OK、計算してみよか。
中点での電位
中点は両電荷から距離 L/2
\( V = V_1 + V_2 = k\dfrac{Q}{L/2} + k\dfrac{-Q}{L/2} \)
\( = \dfrac{2kQ}{L} - \dfrac{2kQ}{L} = 0 \)
💡 異符号で同じ大きさなら
中点では電位がゼロになる！
+Q と −Q の中点の電位は？
さすがや！ほな発展問題いくで。
+Q と −Q の中点での電界Eはいくら？
電気双極子（+Q と −Q の対）の性質を整理しとこか。
📌 電気双極子の特徴
・中点：電界 ≠ 0、電位 = 0
・遠方：電界・電位が急速に減衰
双極子は全体として「中性」やけど、近くでは電界がしっかりあるんや！
電荷を動かすときの仕事について復習しとこか。
💡 ポイント
・正電荷が電位の高→低に動く → エネルギーを得る
・正電荷が電位の低→高に動く → エネルギーを失う
公式の使い分けをまとめとくで！
| 求めたいもの | 使う公式 |
|---|---|
| 電界E | \( E = kQ/r^2 \) |
| 電位V | \( V = kQ/r \) |
| 電界中の力F | \( F = qE \) |
| 仕事W | \( W = q \Delta V \) |
| 電位と電界の関係 | \( E = V/d \)（一様電界） |
最後の問題や！
点電荷 +Q から距離 r の位置Aと距離 2r の位置Bがある。+q の電荷をAからBに動かすときの仕事Wは？
OK、順番に計算しよか。
各点の電位
A点（距離r）：\( V_A = kQ/r \)
B点（距離2r）：\( V_B = kQ/(2r) \)
仕事の計算
\( W = q(V_A - V_B) \)
\( = q \left( \dfrac{kQ}{r} - \dfrac{kQ}{2r} \right) = q \cdot \dfrac{kQ}{2r} \)
\( = \dfrac{kQq}{2r} \)
W = kQq/(2r) で符号は正？負？
よっしゃ、最後の発展問題や！
電荷+Qをもつ点から、+qの電荷を無限遠まで運ぶのに必要な仕事は？（最初の距離はr）
今日学んだことをまとめるで！
| 項目 | ポイント |
|---|---|
| 電界と電位の違い | E ∝ 1/r²、V ∝ 1/r |
| 電界の合成 | ベクトル和（向きを考慮） |
| 電位の合成 | スカラー和（符号に注意） |
| 電界ゼロ（同符号） | 2電荷の間 |
| 電界ゼロ（異符号） | 小さい電荷の外側 |
| 仕事 | W = qΔV |
よっしゃ！最後に今日のまとめや。
📝 第6講のまとめ
✅ 電界：E = kQ/r²（逆2乗）、ベクトル量
✅ 電位：V = kQ/r（逆1乗）、スカラー量
✅ 電界ゼロ：同符号→間、異符号→外側
✅ 電位ゼロ：異符号で存在（間と外側）
✅ 仕事：W = q(V_A − V_B)
次回はガウスの法則を学ぶで！電気力線の本数と電荷の関係を数式で表す、静電気の超重要法則や。楽しみにしとき！
お疲れさん！第6講「点電荷のまわりの電界と電位」終了や！
📝 今日のまとめ
✅ E = kQ/r²（逆2乗）
✅ V = kQ/r（逆1乗）
✅ 電界ゼロと電位ゼロは別の概念
✅ W = qΔV