キルヒホッフの法則の計算問題を徹底演習【電験三種 理論】
KCL＋KVLで連立方程式を立てて、2ループ回路を完全攻略！
ようこそ、第9講へ！今回のテーマは「キルヒホッフの法則の計算問題」やで！
第7講でKCL（電流則）、第8講でKVL（電圧則）を学んだな。KCLは節点での電流の式、KVLは閉回路での電圧の式やった。この2つの法則を「知っている」だけじゃ電験三種は解けへん。今回は「知っている」を「解ける」に変えるための計算実践回やで！
電験三種の理論科目では、2つの電源と3つの抵抗がある回路で「各枝の電流を求めよ」という問題がド定番で出る。この手の問題は、KCLとKVLで連立方程式を立てて解くんや。連立方程式と聞くとビビるかもしれんけど、手順さえ覚えれば機械的に解けるようになるから安心してや！
🎯 この講座で学ぶこと
📘 解法の4ステップ：電流の仮定 → KCL → KVL → 連立方程式
📗 代入法：KCLの式をKVLに代入して未知数を減らす
📙 加減法：式を足し引きして未知数を消す
📕 負の電流：計算結果がマイナスになったときの意味
📓 電験レベル実践：内部抵抗付き2電源回路
今回のイメージは「料理のレシピ」や。材料（法則）は前回までに揃った。今回はそのレシピ通りに手を動かして「実際に作る」回やで。最初はレシピを見ながらゆっくり、慣れたらスピードアップ。手を動かした数だけ計算力がつくから、一緒にガンガン解いていこう！
まず、キルヒホッフの法則で回路を解く「4ステップ」を整理するで！
どんなに複雑な回路でも、この4つの手順を順番に踏めば必ず解ける。逆に言えば、手順を飛ばすと途中で混乱する原因になるから、必ずこの順番で進めるのが鉄則やで。
🔧 キルヒホッフ計算の4ステップ
Step 1：電流の仮定
各枝（ブランチ）に流れる電流の名前と方向を仮に決める。I₁, I₂, I₃ …と名前をつけて、矢印の向きを適当に仮定する。向きは間違っていてもOK！間違っていたら答えがマイナスになるだけや。
Step 2：KCLの式を立てる
節点（枝が合流する点）で「入る電流 = 出る電流」の式を立てる。独立な式は（節点数 − 1）本。
Step 3：KVLの式を立てる
各ループで「起電力の和 = 電圧降下の和」の式を立てる。周回方向を決めて、符号ルールに従って式を書く。独立な式はメッシュ数と同じ。
Step 4：連立方程式を解く
Step 2 と Step 3 で立てた式を連立して、未知数（電流の値）を求める。代入法か加減法で解く。最後に検算！
ここで超重要なのが、「式の数 = 未知数の数」になっていること。未知電流が3つなら、KCLとKVLを合わせて3本の独立な式が必要や。式が足りなかったら解けへんし、多すぎたらどれかが従属（他の式から導ける）ってことやで。
ほな、次のステップから実際に手を動かしていこう！まずは1ループの簡単な回路でウォーミングアップや。
まずは1ループ回路で4ステップの流れを確認するで！
この回路を4ステップで解いてみるで。
Step 1：電流の仮定
直列回路やから電流は1本だけ。時計回りに I と名付ける。
Step 2：KCL
節点がないので（1ループ回路では）KCLは不要。
Step 3：KVL
周回方向を時計回りに設定して式を立てる。
\( E = IR_1 + IR_2 \)
\( 12 = 4I + 2I = 6I \)
Step 4：方程式を解く
\( I = \frac{12}{6} = 2 \) A
簡単やな！1ループ回路ではKVLだけで解ける。これはオームの法則と同じ結果やけど、手順の確認として重要やで。ほな次は、いよいよ2ループ回路に挑戦や！
ここからが本番！2ループ回路で4ステップを実践するで！
下の回路は、電源が2つ、抵抗が3つある回路や。真ん中の R₃ を2つのループが共有しているのがポイント。こういう回路はオームの法則だけじゃ解けへん。KCL＋KVLの出番やで！
この回路を4ステップで解いていくで。まずはStep 1 と Step 2 と Step 3で式を立てるところまでやるで！
Step 1：電流の仮定
枝が3本あるから、電流も3つ。I₁（左上→右）、I₂（中央→右上）、I₃（上→中央下）と仮定する。向きは図の矢印の通り、テキトーでOK！
Step 2：KCLの式
節点 a に注目。入る電流 I₁ = 出る電流 I₂ + I₃ やから：
\( I_1 = I_2 + I_3 \) …①
節点は2つ（a と b）あるが、独立な式は（2−1）= 1本だけ。節点 b の式は①と同じ情報やで。
Step 3：KVLの式
ループ①（左、時計回り）：電源 E₁ が上昇、R₁ と R₃ が降下
\( E_1 = I_1 R_1 + I_3 R_3 \)
\( 30 = 5I_1 + 5I_3 \) …②
ループ②（右、時計回り）：電源 E₂ が上昇、R₂ と R₃ が降下
\( E_2 = I_2 R_2 + I_3 R_3 \)
\( 20 = 5I_2 + 5I_3 \) …③
これで未知数3つ（I₁, I₂, I₃）に対して式3本が揃った！あとはStep 4で連立方程式を解くだけや。次のステップで実際に解いてみる前に、まず式の立て方ができているか確認するで！
ほな、いま立てた式を使って I₁ を求めてみよう！
先ほどの回路（E₁=30V, E₂=20V, R₁=R₂=R₃=5Ω）について、3つの式を立てたな。
① \( I_1 = I_2 + I_3 \) ② \( 30 = 5I_1 + 5I_3 \) ③ \( 20 = 5I_2 + 5I_3 \)
上の連立方程式を解いて、I₁ の値を求めよ。
💡 ヒント：①を②か③に代入して未知数を減らそう
連立方程式が難しかったら、まず1ループの復習からいこう！
1ループ回路の場合
E=12V、R₁=4Ω、R₂=2Ω の直列回路。
KVL：\( E = IR_1 + IR_2 \)
\( 12 = 4I + 2I = 6I \)
\( I = \frac{12}{6} = 2 \) A
直列は全部足して割るだけ！これが基本やで。
E=18V、R₁=3Ω、R₂=6Ω の直列回路の電流 I は？
ええぞ！同じ回路で共有枝の電流 I₃ も求めてみよう！
同じ回路（E₁=30V, E₂=20V, R₁=R₂=R₃=5Ω）で、R₃ に流れる電流 I₃ の値を求めよ。
💡 ヒント：②と③の式を辺々引いてみよう
連立方程式の解き方、まずは「代入法」から！
代入法は、KCLの式を使ってKVLの式の未知数を減らす方法や。さっきの回路で実演するで。
代入法の手順
① \( I_1 = I_2 + I_3 \) ② \( 30 = 5I_1 + 5I_3 \) ③ \( 20 = 5I_2 + 5I_3 \)
ステップA：①をKVLに代入
②に \( I_1 = I_2 + I_3 \) を代入：
\( 30 = 5(I_2 + I_3) + 5I_3 \)
\( 30 = 5I_2 + 5I_3 + 5I_3 \)
\( 30 = 5I_2 + 10I_3 \) …②'
未知数が I₂ と I₃ の2つに減った！
ステップB：2つの式で解く
②' \( 5I_2 + 10I_3 = 30 \) → 両辺を5で割って \( I_2 + 2I_3 = 6 \) …②''
③ \( 5I_2 + 5I_3 = 20 \) → 両辺を5で割って \( I_2 + I_3 = 4 \) …③'
②'' − ③'：\( I_3 = 2 \) A
③' に代入：\( I_2 = 4 - 2 = 2 \) A
① に代入：\( I_1 = 2 + 2 = 4 \) A
代入法のコツは、KCLの式「I₁ = I₂ + I₃」を真っ先にKVLの式に突っ込むこと。これだけで3元連立が2元に変わるんや。キルヒホッフの計算では、このパターンがほぼ100%使えるで！
📌 検算を忘れるな！
答えが出たら別のループの式に代入して成り立つか確認する。
②で確認：\( 5 \times 4 + 5 \times 2 = 20 + 10 = 30 \) V = E₁ ✓
③で確認：\( 5 \times 2 + 5 \times 2 = 10 + 10 = 20 \) V = E₂ ✓
次は「加減法」で同じ問題を解いてみるで！
加減法は、2つの式を足したり引いたりして、一方の未知数を消去する方法や。代入法と並んで電験三種で超頻出やから、両方使えるようになっておくのがベストやで。
加減法の手順（代入後の2元連立から）
②'' \( I_2 + 2I_3 = 6 \)
③' \( I_2 + I_3 = 4 \)
式を引く（②'' − ③'）
\( (I_2 + 2I_3) - (I_2 + I_3) = 6 - 4 \)
\( I_2 - I_2 + 2I_3 - I_3 = 2 \)
\( I_3 = 2 \) A → 一発で I₃ が求まった！
あとは代入して I₂ = 2A、I₁ = 4A
今回はI₂ の係数が同じ（どっちも1）やったから、そのまま引くだけで消えた。もし係数が違う場合は、片方の式を何倍かして係数を揃えてから引くのがポイントや。
係数が違う場合の例
仮に \( 2I_2 + 3I_3 = 10 \) …(A) と \( 3I_2 + 2I_3 = 10 \) …(B) だったとする。
(A)×3：\( 6I_2 + 9I_3 = 30 \)
(B)×2：\( 6I_2 + 4I_3 = 20 \)
引き算：\( 5I_3 = 10 \) → \( I_3 = 2 \) A
係数を揃えるのに最小公倍数を使うのがコツ！
📌 代入法 vs 加減法 使い分け
⚡ 代入法：KCLの式（I₁ = I₂ + I₃ の形）を代入するとき特に便利
⚡ 加減法：係数が揃いやすいとき、式が整理済みのときに速い
⚡ 実戦では「まずKCLを代入 → 残りを加減法で」が最速パターン！
ここで、計算をラクにするテクニックをまとめておくで！
電験三種の計算問題は時間との勝負や。同じ答えにたどり着くにしても、ちょっとした工夫で計算量がグッと減ることがあるんやで。
テクニック①：先に両辺を共通因数で割る
\( 30 = 5I_1 + 5I_3 \) → 両辺5で割って \( 6 = I_1 + I_3 \)
数字が小さくなるだけで計算ミスが減る。必ず割れるか確認してから割ること！
テクニック②：KCLは最初に代入する
KCL式 \( I_1 = I_2 + I_3 \) を KVL に代入すると、未知数が1つ減る。3元連立 → 2元連立になるから、そこからは加減法でサクッと解ける。これはもう鉄板パターンやで。
テクニック③：検算は別ループで
答えが出たら「使わなかった式」に代入して確認。もし合わなかったら、どこかで計算ミスしてる。本番では検算で1問の5点を守れるから絶対やるべきやで。
まとめると、計算の流れは「割る → 代入する → 加減法 → 検算」や。この流れが身体に染み込むまで練習しよう。ほな次は、数値が少し変わった問題で実践や！
ほな、数値が変わった2ループ回路で計算してみよう！
上の回路で、R₃ に流れる電流 I₃ の値を求めよ。
KCL：\( I_1 = I_2 + I_3 \) KVL①：\( 10 = 2I_1 + 2I_3 \) KVL②：\( 8 = 4I_2 + 2I_3 \)
💡 ヒント：KCLをKVL①に代入 → KVL②と連立
連立方程式をゆっくり一緒に解こう！
まず連立方程式の基本
次の2つの式から I₃ を求めてみよう。
\( I_2 + 2I_3 = 5 \) …(A)
\( I_2 + I_3 = 3 \) …(B)
(A) − (B)：\( I_3 = 2 \)
同じ I₂ が入っている式を引けば、I₂ が消えて I₃ だけ残るんやで！
\( 2x + y = 7 \), \( x + y = 5 \) のとき、x は？
ええぞ！R₃ の電圧降下も求めてみよう！
同じ回路（E₁=10V, E₂=8V, R₁=2Ω, R₂=4Ω, R₃=2Ω）で、R₃ にかかる電圧 V₃ を求めよ。
💡 ヒント：V₃ = I₃ × R₃ を使おう
前半の学習、お疲れさま！ここまでの要点をまとめるで。
前半では、キルヒホッフの法則で回路を解く基本パターンを学んだな。2ループ・3枝の回路で、KCL 1本＋KVL 2本の連立方程式を立てて、代入法や加減法で解くことができるようになったはずや。
📌 前半のまとめ
⚡ 4ステップ：電流仮定 → KCL → KVL → 連立方程式
⚡ KCLの活用：\( I_1 = I_2 + I_3 \) をKVLに代入して未知数を減らす
⚡ 代入法：KCL式を代入 → 2元連立に落とす
⚡ 加減法：係数を揃えて引き算 → 一方の未知数を消去
⚡ 検算：別のループの式で確認！
後半では、計算結果がマイナスになるケース（負の電流）や、電験三種レベルの実践問題に挑戦するで。ここからが本当の「計算力強化」やから、気合い入れていこう！
後半スタート！まずは「負の電流」について説明するで！
キルヒホッフの計算をしていると、答えが\( I_3 = -2 \) Aのようにマイナスになることがある。これ、「間違えた！」と思うかもしれんけど、全然間違いじゃないんや。
思い出してほしいのは、Step 1で「電流の方向を仮に決めた」ということ。あのとき「こっち向きに流れるやろ」と仮定したけど、実際には逆向きに流れていた場合、計算結果がマイナスになるんや。
例えるなら「この道は東向き一方通行やろ」と仮定して計算したら、答えが「−2台/時」になった。これは「実は西向きに2台/時走ってた」って意味や。マイナスは間違いじゃなく、方向が逆だったという情報なんやで。
📌 負の電流のルール
⚡ 計算結果が正（+）：仮定した方向に電流が流れている
⚡ 計算結果が負（−）：仮定と逆方向に電流が流れている
⚡ 電流の大きさは絶対値をとる（−2A → 実際の大きさは 2A）
⚡ 仮定をやり直す必要はない。マイナスのまま計算を続ければ正しい答えが出る！
電験三種の選択肢では「−2A」のようにマイナス付きで出ることもあるし、「2A（図の矢印と逆向き）」のように書かれることもある。どっちの書き方でも意味は同じやで。大事なのはマイナスを見てパニックにならないこと！
ほな、実際にマイナスが出る回路を解いてみよう！
下の回路は E₁ = 6V、E₂ = 12V で、右側の電源が左側より大きい。I₃ は上から下に流れると仮定してるけど、E₂ の方が強いから、実際は逆向き（下から上）に流れる可能性があるんや。
式を立てる
KCL（節点a）：\( I_1 = I_2 + I_3 \) …①
KVL①（左ループ）：\( 6 = 3I_1 + 3I_3 \) → 両辺3で割って \( 2 = I_1 + I_3 \) …②
KVL②（右ループ）：\( 12 = 3I_2 + 3I_3 \) → 両辺3で割って \( 4 = I_2 + I_3 \) …③
代入法で解く
①を②に代入：\( 2 = (I_2 + I_3) + I_3 = I_2 + 2I_3 \) …②'
②' − ③：\( (I_2 + 2I_3) - (I_2 + I_3) = 2 - 4 \)
\( I_3 = -2 \) A ← マイナスが出た！
③に代入：\( I_2 = 4 - (-2) = 6 \) A
①に代入：\( I_1 = 6 + (-2) = 4 \) A
\( I_3 = -2 \) A ということは、R₃ の電流は仮定と逆向き（下から上、b→a）に 2A 流れているんや。E₂ の方が E₁ より強いから、R₃ の電流は E₂ 側から E₁ 側に押し戻されているイメージやな。
検算
KVL①：\( 3 \times 4 + 3 \times (-2) = 12 - 6 = 6 \) V = E₁ ✓
KVL②：\( 3 \times 6 + 3 \times (-2) = 18 - 6 = 12 \) V = E₂ ✓
KCL：\( I_1 = I_2 + I_3 → 4 = 6 + (-2) = 4 \) ✓
検算もバッチリやな。マイナスが出ても、そのまま検算に使えば正しく成り立つ。これがキルヒホッフの法則のすごいところや。仮定が間違っていても、数学が勝手に修正してくれるんやで！
ほな、負の電流が出る問題に挑戦や！
先ほどの回路（E₁=6V, E₂=12V, R₁=R₂=R₃=3Ω）で式を立てたな。
① \( I_1 = I_2 + I_3 \) ② \( 2 = I_1 + I_3 \) ③ \( 4 = I_2 + I_3 \)
上の連立方程式を解いて、R₃ に流れる電流 I₃ の値を求めよ。
💡 ヒント：①を②に代入して②'を作り、②'と③の引き算をしよう
負の電流の意味をもう一度確認しよう！
負の電流のおさらい
I₃ の方向を「上→下」と仮定して計算した結果：
\( I_3 = -2 \) A
マイナスの意味 → 実際は「下→上」に 2A 流れている
大きさは絶対値をとって2Aやで！
計算で \( I = -3 \) A と出た。実際に流れている電流の大きさは？
ええぞ！同じ回路で I₁ も求めてみよう！
同じ回路（E₁=6V, E₂=12V, R₁=R₂=R₃=3Ω）で I₃ = −2A が分かっている。I₁ の値を求めよ。
💡 ヒント：② \( 2 = I_1 + I_3 \) に I₃ = −2 を代入
ここからは電験三種レベルの問題に挑戦やで！
これまでの問題は「理想的な電源」（内部抵抗ゼロ）を使っていた。でも実際の電池やバッテリーには内部抵抗（ないぶていこう）がある。電験三種ではこの内部抵抗を含む回路がよく出題されるんや。
内部抵抗とは何か？電源の中にある小さな抵抗のことや。電池から電流を取り出すとき、この内部抵抗のせいで電圧が少し下がる。新品の電池より古い電池の方がパワーが弱いのは、内部抵抗が大きくなっているからやで。
KVLで見ると、起電力Eが内部抵抗rと外部抵抗Rで分配されているだけや。内部抵抗も普通の抵抗と同じようにKVLの式に入れるだけやから、特別なことは何もないで。ただし、端子電圧（外から見た電圧）は E ではなく V = E − Ir になることだけ注意や。
ほな、内部抵抗付きの2電源回路を解くで！これが電験三種の定番パターンや！
前半の回路と構造は同じ！違いは左右の枝に内部抵抗 r₁, r₂ が加わっただけや。KVLの式を立てるとき、内部抵抗も普通の抵抗と同じように電圧降下 \( I \times r \) を入れるだけやで。
4ステップで内部抵抗付き回路を解いていくで！
Step 1：電流の仮定
左枝 I₁（右向き）、右枝 I₂（右向き）、中央枝 I₃（下向き）。
Step 2：KCL（節点a）
\( I_1 = I_2 + I_3 \) …①
Step 3：KVL
ループ①（左、時計回り）：起電力 E₁、降下は r₁ と R
\( E_1 = r_1 I_1 + RI_3 \)
\( 12 = 2I_1 + 3I_3 \) …②
ループ②（右、時計回り）：起電力 E₂、降下は r₂ と R
\( E_2 = r_2 I_2 + RI_3 \)
\( 10 = 4I_2 + 3I_3 \) …③
Step 4：連立方程式を解く
①を②に代入：\( 12 = 2(I_2 + I_3) + 3I_3 = 2I_2 + 5I_3 \) …②'
②' × 2：\( 24 = 4I_2 + 10I_3 \)
③：\( 10 = 4I_2 + 3I_3 \)
引き算：\( 14 = 7I_3 \) → \( I_3 = 2 \) A
③に代入：\( 10 = 4I_2 + 6 \) → \( I_2 = 1 \) A
①に代入：\( I_1 = 1 + 2 = 3 \) A
検算
KVL①：\( 2 \times 3 + 3 \times 2 = 6 + 6 = 12 \) V = E₁ ✓
KVL②：\( 4 \times 1 + 3 \times 2 = 4 + 6 = 10 \) V = E₂ ✓
KCL：\( 3 = 1 + 2 \) ✓
完璧やな。内部抵抗付きでも、解法の流れは全く同じ。KCL代入 → 係数揃えて引き算 → 検算。このパターンが電験三種で最も出題される形やから、しっかり身につけてや！
電験三種レベルの最終問題やで！
先ほどの回路（E₁=12V, r₁=2Ω, E₂=10V, r₂=4Ω, R=3Ω）を使うで。
① \( I_1 = I_2 + I_3 \) ② \( 12 = 2I_1 + 3I_3 \) ③ \( 10 = 4I_2 + 3I_3 \)
上の連立方程式を解いて、R に流れる電流 I₃ の値を求めよ。
💡 ヒント：①を②に代入 → ②'と③の加減法（②'を2倍してI₂を消す）
まずは内部抵抗の基本を確認しよう！
1ループの内部抵抗回路
E = 10V、r = 2Ω（内部抵抗）、R = 3Ω（外部抵抗）の直列回路。
KVL：\( E = Ir + IR = I(r + R) \)
\( 10 = I(2 + 3) = 5I \)
\( I = 2 \) A
端子電圧：\( V = E - Ir = 10 - 2 \times 2 = 6 \) V
→ 起電力10Vのうち、内部で4V消費、外部に6V供給！
E = 10V、r = 2Ω、R = 3Ω のとき、端子電圧 V は？
ええぞ！E₁ の端子電圧も求めてみよう！
同じ回路（E₁=12V, r₁=2Ω）で I₁ = 3A が分かっている。E₁ の端子電圧 V₁ = E₁ − I₁r₁ を求めよ。
ここで、キルヒホッフの計算問題を解く完全フローチャートをまとめるで！
電験三種の本番では、問題を見たらこのフローを頭の中で回して、手順通りに機械的に処理するのが最速や。慌てず、一歩ずつ進めれば必ず解ける！
このフローの④と⑤がキモや。具体的に言うと：
時短テクまとめ
⚡ KVLの式は先に共通因数で割ってから代入する
⚡ KCLの \( I_1 = I_2 + I_3 \) を代入すれば3元→2元に一発変換
⚡ 加減法は係数の最小公倍数を使って揃える
⚡ マイナスが出ても慌てない（方向が逆なだけ）
⚡ 検算は本番で最も重要な5点を守る保険！
電験三種のキルヒホッフ計算問題は、このパターンに当てはめるだけでほぼ全問対応できる。あとは数をこなして、計算スピードを上げていくだけやで！
第9講「キルヒホッフの法則の計算問題」、お疲れさま！
今回は、第7講・第8講で学んだKCLとKVLを実際の計算で使う力を鍛えたな。法則を「知っている」のと「使って解ける」のは全然違う。今回やったことで、キミは確実に「解ける」側に一歩踏み出したはずやで。
特に重要なのは代入法のパターンや。KCLの式 \( I_1 = I_2 + I_3 \) をKVLの式にぶち込んで、3元連立を2元に落とす。このワンステップが、キルヒホッフ計算の最大の時短テクやったな。
もう一つ、負の電流の意味も大事やった。計算結果がマイナスでも間違いじゃない。仮定した方向が逆だっただけ。これを知っているだけで、本番でパニックにならずに済むで。
🎯 この講座で学んだこと
✅ 4ステップ：電流仮定 → KCL → KVL → 連立方程式
✅ 代入法：KCL式をKVLに代入して未知数を1つ減らす
✅ 加減法：係数を揃えて式を引き算し、未知数を消去
✅ 負の電流：マイナス = 方向が逆、大きさは絶対値
✅ 内部抵抗：普通の抵抗と同じくKVLに入れるだけ
✅ 検算の鉄則：別の式に代入して成り立つか確認
次回の第10講では、「直並列の合成抵抗」に戻って、もっと複雑な回路の合成テクニックを学ぶで。キルヒホッフの法則で「どんな回路でも解ける武器」を手に入れた今、合成抵抗のテクニックと組み合わせればさらにスピードアップできるようになるんや！
連立方程式は、最初は時間がかかっても繰り返せば必ず速くなる。今回の問題を何度も解き直して、手が覚えるまで練習してや。それが電験三種合格への最短ルートやで！
🎉 第9講 完了！
📊 学習の記録
📚 次回予告：第10講「合成抵抗の応用」
次回は直並列の合成抵抗テクニックをさらに深掘りするで。キルヒホッフの法則と組み合わせて、複雑な回路をスピーディに解く方法をマスターしよう！