交流回路総まとめ｜重要公式と解法パターンを完全網羅【電験三種 理論】

\( v = V_m \sin(\omega t + \theta) \) [V]

• \( V_m \)：最大値（振幅）

• \( \omega = 2\pi f \)：角周波数 [rad/s]

• \( f = 1/T \)：周波数 [Hz]

• \( \theta \)：初期位相 [rad]

\( V = \frac{V_m}{\sqrt{2}} \approx 0.707 V_m \)（実効値）

\( V_m = \sqrt{2} V \approx 1.414 V \)（最大値）

※ 電圧計・電流計の値は実効値！

• 進み：位相角が正（+θ）→ 波形が左にシフト

• 遅れ：位相角が負（-θ）→ 波形が右にシフト

• 電圧を基準（0°）にして電流の位相を考えることが多い

直交形式：\( Z = R + jX \)

極形式：\( Z = |Z| \angle \theta = |Z| e^{j\theta} \)

変換：

• \( |Z| = \sqrt{R^2 + X^2} \)

• \( \theta = \tan^{-1}(X/R) \)

• \( R = |Z|\cos\theta \)、\( X = |Z|\sin\theta \)

\( e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta \)

特に：\( e^{j90°} = j \)、\( e^{-j90°} = -j \)

加減算：直交形式が便利

\( (a+jb) + (c+jd) = (a+c) + j(b+d) \)

乗除算：極形式が便利

\( |Z_1| \angle \theta_1 \times |Z_2| \angle \theta_2 = |Z_1||Z_2| \angle (\theta_1 + \theta_2) \)

\( \frac{|Z_1| \angle \theta_1}{|Z_2| \angle \theta_2} = \frac{|Z_1|}{|Z_2|} \angle (\theta_1 - \theta_2) \)

誘導性リアクタンス：\( X_L = \omega L = 2\pi f L \) [Ω]

容量性リアクタンス：\( X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C} \) [Ω]

※ 周波数が高いほど：X_L は増加、X_C は減少

\( Z = R + j(X_L - X_C) \)

\( |Z| = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \) [Ω]

\( \theta = \tan^{-1}\frac{X_L - X_C}{R} \)

有効電力 P = \( VI\cos\phi = I^2R \) [W]

→ 実際に消費される電力（仕事になる）

無効電力 Q = \( VI\sin\phi = I^2X \) [var]

→ L・Cで行き来する電力（仕事にならない）

皮相電力 S = \( VI = I^2|Z| \) [VA]

→ 電圧×電流の単純な積

\( \cos\phi = \frac{P}{S} = \frac{R}{|Z|} \)

• 力率が高い（1に近い）→ 効率が良い

• 力率が低い → 無効電力が多く、非効率

• 遅れ力率：誘導性負荷（電流が遅れ）

• 進み力率：容量性負荷（電流が進み）

必要な無効電力：

\( Q_C = P(\tan\phi_1 - \tan\phi_2) \)

コンデンサ容量：

\( C = \frac{Q_C}{\omega V^2} = \frac{Q_C}{2\pi f V^2} \) [F]

\( Y = \frac{1}{Z} = G + jB \) [S]（ジーメンス）

• \( G \)：コンダクタンス（= 1/R）

• \( B \)：サセプタンス（= -1/X_L または 1/X_C）

\( |Y| = \sqrt{G^2 + B^2} \)

STEP 1：各枝路のアドミタンスを求める

\( Y_R = 1/R = G \)、\( Y_L = -j/X_L \)、\( Y_C = j/X_C \)

STEP 2：合成アドミタンス

\( Y = Y_1 + Y_2 + ... \)

STEP 3：全電流を求める

\( I = VY \)

\( f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \) [Hz]

\( \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \) [rad/s]

※ 直列共振・並列共振どちらも同じ公式！

巻数比：\( n = \frac{N_1}{N_2} = \frac{V_1}{V_2} \)

電圧の関係：\( V_1 : V_2 = N_1 : N_2 = n : 1 \)

電流の関係：\( I_1 : I_2 = N_2 : N_1 = 1 : n \)（逆比！）

インピーダンス変換：\( Z' = n^2 Z_L \)

銅損（負荷損）：\( P_c = I^2 R \)（電流に依存）

鉄損（無負荷損）：\( P_i \)（電圧に依存、一定）

効率：\( \eta = \frac{P_{out}}{P_{out} + P_c + P_i} \)

最大効率の条件：銅損 = 鉄損

【直列回路】

① 各 Z を求める → ② Z 合成 → ③ I = V/Z → ④ 各 V = IZ

【並列回路】

① 各 Y を求める → ② Y 合成 → ③ I = VY → ④ 各 I = VY

【複合回路】

① 並列部分を先に合成 → ② 直列として全体合成 → ③ 逆算

3 : 4 : 5 → 例：R=30, X=40 → Z=50

5 : 12 : 13 → 例：R=5, X=12 → Z=13

8 : 15 : 17 → 例：R=8, X=15 → Z=17

7 : 24 : 25 → 例：R=7, X=24 → Z=25

cosφ = 0.5 → φ = 60°、tanφ = √3 ≈ 1.73

cosφ = 0.6 → φ ≈ 53°、tanφ ≈ 1.33、sinφ = 0.8

cosφ = 0.8 → φ ≈ 37°、tanφ = 0.75、sinφ = 0.6

cosφ = 1/√2 ≈ 0.707 → φ = 45°、tanφ = 1