複素数の基礎｜虚数単位jと複素平面【電験三種 理論】

まずは「なぜ交流回路で複素数を使うのか」から説明するで！

直流回路を思い出してみ。オームの法則 V = IR を使えば、電圧・電流・抵抗の関係は簡単に計算できたよな。これは、直流では電圧と電流が常に同じタイミングで変化する（というか、変化しない）からや。

ところが交流回路では、話がややこしくなる。特にコイル（L）やコンデンサ（C）が入ると、電圧と電流のタイミングがずれるんや。これを「位相差」って呼ぶんやけど、この位相差を考慮しながら計算するのが、普通の数（実数）だけやとめちゃくちゃ大変なんや。

たとえば、v = 100 sin(ωt + 30°) という交流電圧があったとしよう。この式には「大きさ（100V）」と「位相（30°）」という2つの情報が含まれてる。この2つを同時に扱える「特別な数」が必要になるんや。

そこで登場するのが複素数や！複素数を使えば、「大きさ」と「位相」を1つの数にまとめて表現できる。しかも、足し算・引き算・掛け算・割り算が普通の数と同じようにできるから、回路計算がめっちゃ楽になるんやで。

ほな、複素数の核心部分、「虚数単位 j」について説明するで！

まず、中学校で習った「2乗したら負になる数は存在しない」っていう常識を思い出してみ。どんな数を2乗しても、結果は0か正の数になるよな。(+3)² = 9、(-3)² = 9、どっちもプラスや。

でも、数学者たちは考えた。「2乗したら -1 になる数があったら便利やな」と。そこで、そんな数を「想像上の数」として定義してしまったんや。これが虚数単位や！

「え？そんな数、本当に意味あるの？」って思うやろ。でも、この「想像上の数」が、実はめちゃくちゃ現実の役に立つんや。特に、回転や振動を扱うときに威力を発揮する。交流もまさに「振動する電気」やから、虚数との相性がバツグンなんやで。

ちなみに、数学では虚数単位を i（imaginary の頭文字）で表すけど、電気工学では j を使う。なんでかっていうと、電気では i を電流の記号として使うから、混乱を避けるためなんや。

ここで、j の累乗がどうなるか見てみよう。これがめっちゃ面白いんや！

j² = -1 っていう定義から出発して、j を何回もかけていくとどうなるか計算してみるで。

ここで注目！j⁴ = 1 になったやろ？ということは、j⁵ = j⁴ × j = 1 × j = j に戻るんや。つまり、j → -1 → -j → 1 → j → … と、4回で一周するんやで！

この図を見てくれ。j をかけるたびに 90° 回転してるのがわかるやろ？これが超重要なポイントなんや！

なんでこれが重要かっていうと、交流回路の位相差も角度で表すからや。コイルやコンデンサでは、電圧と電流の位相が 90° ずれる。これを表現するのに j がピッタリなんやで！

ここで虚数単位 j の理解度を確認してみよう！

j の定義と累乗の性質、しっかり覚えてるかな？電験三種でも j の計算は頻出やから、ここでバッチリ押さえておこう。

ここからは「複素数の表し方」を学んでいくで！

虚数単位 j がわかったところで、いよいよ「複素数」の全体像を見ていこう。複素数とは、実数と虚数を組み合わせた数のことや。

具体的には、こんな形で表す：

ここで、a を実部（Real part）、b を虚部（Imaginary part）と呼ぶ。例えば、Z = 3 + j4 という複素数なら、実部は 3、虚部は 4 や。

「なんで『直交形式』って呼ぶの？」って思うやろ。それは、実部と虚部が直角（90°）に配置されるからなんや。これは後で「複素平面」を見ればわかるで。

実部と虚部を取り出す記号もあるで。Re(Z) は「Z の実部」、Im(Z) は「Z の虚部」を意味する。

具体例をいくつか見てみよう：

Z₃ のように虚部が 0 なら普通の実数、Z₄ のように実部が 0 なら純虚数になる。つまり、実数も虚数も、複素数の特別な場合なんや。

次は「複素平面」について学ぼう！これが複素数を「見える化」する強力なツールや。

普通の数直線は1本の線やったよな。0 を中心に、右にプラス、左にマイナス。でも、複素数は実部と虚部の2つの成分を持つから、1本の線じゃ表せへん。

そこで、2本の軸を直角に組み合わせた平面を使うんや。これが「複素平面」や！

複素平面では：

・横軸が実軸（Real axis）：実部 a の値を表す

・縦軸が虚軸（Imaginary axis）：虚部 b の値を表す

例えば、Z = 3 + j2 という複素数は、実軸方向に 3、虚軸方向に 2 進んだ点として表される。ちょうど、x-y 座標で点 (3, 2) をプロットするのと同じ感覚やな。

複素平面を使うと、複素数の「大きさ」も簡単に求められるんや！

複素数 Z = a + jb を複素平面上に描くと、原点 O から点 Z までの距離が求められるよな。この原点からの距離を、複素数の絶対値（または大きさ）と呼ぶんや。記号は |Z| で表す。

原点 (0, 0) から点 (a, b) までの距離やから、三平方の定理（ピタゴラスの定理）を使って計算できるで。

例えば、Z = 3 + j4 の絶対値は：

3-4-5 の直角三角形やな！この「絶対値」は、交流回路では電圧や電流の「実効値」に対応することになる。複素数を使って交流を表すと、絶対値が実効値、向き（角度）が位相を表すんや。

ここで複素数と絶対値の理解度を確認してみよう！

複素数の実部・虚部、そして絶対値の計算は電験三種でも頻出や。しっかり練習しておこう。

ここからは複素数の計算を見ていこう！まずは加算・減算からや。

複素数の足し算・引き算は、めっちゃシンプルや。実部同士、虚部同士を別々に計算するだけ！

具体例で見てみよう：

これを複素平面で見ると、ベクトルの足し算・引き算と全く同じになる。2つのベクトルを平行四辺形の法則で合成する感じや。

交流回路では、複数の電圧や電流を合成するときに、この加減算を使うんや。実部同士・虚部同士を計算するだけやから、めっちゃ楽やろ？

次は複素数の乗算（掛け算）を学ぼう！

複素数の掛け算は、普通の多項式の展開と同じ要領でできるんや。ただし、j² = -1 を使って整理するのがポイントやで。

「うわ、公式覚えるの大変そう…」って思うかもしれへんけど、実は普通に展開するだけで導けるんや。やってみよう：

見てわかるように、j² が出てきたら -1 に置き換えるだけや。公式を丸暗記するより、この展開の流れを覚えた方が応用がきくで。

具体例で練習してみよう：

ここで、複素数の乗算の「幾何学的な意味」を見てみよう！これがめっちゃ面白いんや。

さっき「j をかけると 90° 回転」って話をしたやろ？実は、複素数の乗算は一般的に「回転」と「拡大」の組み合わせになってるんや。

まず、j をかけた場合を具体的に確認してみよう：

元の Z = 3 + j4 と、j をかけた後の -4 + j3 を複素平面で見てみると…

見てわかるように、ベクトルの長さは変わらず、角度だけが 90° 増えてるんや！これが「j をかける = 90° 回転」の正体や。

この性質は、交流回路で超重要や。なぜなら、コイルやコンデンサでは電圧と電流の位相が 90° ずれるから、j を使って表現できるんやで。

ここで複素数の乗算を練習してみよう！

展開して j² = -1 を使う、という流れをしっかり身につけてな。電験三種でも頻出のパターンやで。

次は「共役複素数」について学ぼう！除算（割り算）で必ず使う超重要な概念やで。

共役複素数とは、ある複素数の虚部の符号だけを反転させたものや。記号は上に線を引くか、アスタリスク（*）をつけて表す。

具体例を見てみよう：

複素平面で見ると、共役複素数は実軸に関して対称な位置にあるんや。鏡に映したような関係やな。

共役複素数のすごいところは、元の複素数と掛けると実数になるってことや！

見てわかるように、Z × Z* = a² + b² = |Z|² になる。虚部が消えて純粋な実数になるんや！この性質が除算で大活躍するで。

いよいよ「複素数の除算（割り算）」や！これが共役複素数を使う一番の場面やで。

複素数で割り算するとき、分母に j が残ってると計算しにくいよな。そこで、分母を実数化するテクニックを使うんや。

やり方は簡単。分母と分子の両方に、分母の共役複素数をかけるんや。

具体例で見てみよう：

ここで、複素数と交流回路のつながりを確認しておこう！

ここまで学んだ複素数の知識が、交流回路でどう使われるか、先取りして見てみるで。

交流回路では、電圧や電流を複素数で表すことで、位相を含めた計算が楽になる。具体的には：

例えば、インピーダンス Z を複素数で表すと：

このとき：

・|Z| = √(R² + X²) がインピーダンスの大きさ

・虚部が正（jX > 0）なら誘導性（コイル的）

・虚部が負（jX < 0）なら容量性（コンデンサ的）

最後に共役複素数と除算の問題に挑戦や！

分母の共役をかけて実数化する、という流れをしっかり練習しておこう。

複素数の基礎を一覧表でまとめておこう！

第6講「複素数の基礎」の総まとめや！

今回は、交流回路の計算で欠かせない複素数の基礎を学んだな。虚数単位 j から始まって、複素平面、四則演算、共役複素数まで、盛りだくさんの内容やった。

次回の第7講「フェーザ表示」では、この複素数を使って交流電圧・電流を「回転するベクトル」として表す方法を学ぶで。複素数の知識がそのまま活きてくるから、今回の内容はしっかり復習しておいてな！

お疲れさまや！第6講「複素数の基礎」、完走やな！