誘導電動機のトルク基本式T=Pg/ωsをわかりやすく解説【電験三種 機械】

まずは「トルク」って何やねん？ってところから確認しよか。

トルクを一言でいうと、「回転させる力の強さ」や。英語では Torque、記号は \( T \)、単位は [N·m]（ニュートンメートル）を使う。

身近な例で考えてみ。ドアノブを回すとき、手で力を加えるやろ？あのとき、ドアノブの「軸」を中心にして、手が加える「回転させる力」がトルクや。スパナでボルトを締めるとき、長いスパナの方が楽に締められるのも、トルクが大きくなるからやで。

電動機の世界では、トルクは「どれだけ強い力で軸を回せるか」を表してる。トルクが大きいモーターは重い負荷でも回せるし、トルクが小さいモーターは軽い負荷しか回せへん。

さて、ここからが重要なポイントや。電動機のトルクを「力 × 腕の長さ」で求めるのは現実的やない。回転子の中の電磁力を直接測るなんて無理やからな。

そこで登場するのが「電力と角速度を使ってトルクを求める方法」や。次のステップでまず「角速度」について説明するで。

トルクの公式に入る前に、角速度（かくそくど）について押さえておこか。

今まで誘導電動機の「速さ」を表すのに、回転速度 \( N \) [min⁻¹] を使ってきたやろ。「1分間に何回転するか」っていう表し方やな。同期速度 \( N_s = \frac{120f}{p} \) [min⁻¹] もこの形式やった。

ところがな、物理の世界でトルクや電力の計算をするときは、角速度 \( \omega \)（オメガ）[rad/s] を使う方が都合がええんや。「1秒間に何ラジアン回転するか」っていう表し方やで。

なんで角速度を使うかっていうと、電力とトルクの関係式がめちゃくちゃシンプルになるからや。回転速度 N を使うと式がゴチャゴチャするけど、角速度 ω を使うと一発で決まる。これは後で実感できるで。

ほな、回転速度 \( N \) [min⁻¹] から角速度 \( \omega \) [rad/s] への変換を確認しよか。

1回転は \( 2\pi \) ラジアンやな。\( N \) [min⁻¹] は「1分間に \( N \) 回転」やから、1秒間では \( \frac{N}{60} \) 回転。つまり1秒間に回転する角度は \( 2\pi \times \frac{N}{60} \) ラジアンや。

同期速度 \( N_s \) に対する同期角速度も同じ変換や。

たとえば、4極・50Hzの場合を計算してみよか。

同じように、回転子の実際の速度 \( N \) に対しても角速度 \( \omega \) が対応するで。すべり \( s = 0.04 \) なら \( N = 1500 \times (1 - 0.04) = 1440 \) [min⁻¹] やから、\( \omega = \frac{2\pi \times 1440}{60} = 48\pi \approx 150.8 \) [rad/s] やな。

角速度が分かったところで、いよいよ次のステップでトルクと電力の関係に入るで！ここが今回の核心や！

さあ、いよいよ今回の核心部分や。トルクと電力の関係を導き出すで。

物理の基本に戻って考えてみよか。「電力」ってなんやった？電力（仕事率）は「1秒あたりにする仕事の量」や。単位は [W]（ワット）やな。

回転する物体の場合、仕事はどうなるか？直線運動なら「力 × 距離」が仕事やけど、回転運動の場合は「トルク × 回転した角度」が仕事になるんや。

つまり、1秒間にする仕事（＝電力）は、トルク \( T \) [N·m] × 1秒間に回転する角度（＝角速度 \( \omega \) [rad/s]）で表せる。

この式はめちゃくちゃ重要や。電力 = トルク × 角速度。これは回転機械すべてに共通する基本法則やで。誘導電動機だけやなくて、直流電動機でも同期電動機でもこの関係は成り立つ。

ほんで、この式をトルク \( T \) について解くと...

これが「電力からトルクを求める」基本の形や。電力を角速度で割ればトルクが出る。シンプルやろ？

さて、ここで大事な疑問が出てくる。「P にはどの電力を入れればええんや？」って話や。誘導電動機には入力 \( P_1 \)、二次入力 \( P_g \)、機械出力 \( P_2 \) といろんな電力があったやろ？どれを使うかで式の形が変わるんや。

この答えは次のステップ以降で詳しく解説するけど、先にちょっとだけ予告しとくで。結論から言うと、二次入力 \( P_g \) を使うか、機械出力 \( P_2 \) を使うかで2つの表現があるんや。

ほな、ここまでの内容を問題で確認してみよか！まずは角速度の計算からや。

角速度の計算はバッチリやな。ほな、いよいよトルクの基本式を導出していくで。

まず、誘導電動機の電力の流れを思い出してくれ。

ここで注目してほしいのが、二次入力 \( P_g \)（同期ワット）や。これは「回転磁界が回転子に対して行う仕事の電力」やったな。

さて、ここで考えてみてくれ。回転磁界は同期速度 \( N_s \)で回ってる。そして回転磁界が回転子に伝える電力が \( P_g \) や。

回転磁界の「視点」で見ると、「同期角速度 \( \omega_s \) で回転しながら、\( P_g \) という電力を回転子に伝えている」状態や。さっき学んだ \( P = T\omega \) の関係を使うと...

これをトルク \( T \) について解くと...

これが誘導電動機のトルクの基本式や！

「なんで \( P_g \) を使うねん？\( P_2 \)（機械出力）やないの？」って思った人もおるやろ。ええ質問や。これについては次のステップ以降でじっくり解説するけど、ポイントだけ先に言うとくで。

トルクの基本式 \( T = \frac{P_g}{\omega_s} \) をもう少し深掘りしよか。

この式の面白いところは、分母の \( \omega_s \) が一定っていう点や。考えてみ。同期角速度 \( \omega_s = \frac{2\pi N_s}{60} \) は、電源の周波数 \( f \) と極数 \( p \) で決まるやろ？電源が変わらん限り、\( \omega_s \) は一定値や。

ということは、トルク \( T \) は二次入力 \( P_g \) に比例するってことになるんや。\( P_g \) が2倍になればトルクも2倍、\( P_g \) が半分になればトルクも半分。シンプルやろ？

これは電験の問題を解くときにめちゃくちゃ役立つ考え方やで。「トルクが分かればPgが分かる」「Pgが分かればトルクが分かる」っていう、電力とトルクの相互変換が自在にできるようになるんや。

ほんで、\( \omega_s \) の具体的な値も確認しとこか。よく出る組み合わせをまとめるで。

この表で特に覚えてほしいのは、4極・50Hz → \( \omega_s = 50\pi \) や。日本の50Hz地域で最も一般的な組み合わせやから、電験の問題でもよく出るで。

さて、ここまでの知識を使って、次はいよいよトルクの計算問題にチャレンジや！\( T = \frac{P_g}{\omega_s} \) を実際に使ってみるで。

さて、ここからもう一つのトルクの表現を学ぶで。

Step 6 で \( T = \frac{P_g}{\omega_s} \) を導出したけど、実はトルクにはもう一つの表し方があるんや。

機械出力 \( P_2 \) は、回転子が実際に軸を回す仕事の電力やったな。回転子は角速度 \( \omega \) で回転してるから、\( P = T\omega \) の関係を使うと...

これをトルクについて解くと...

おっ、と。ここで「ちょっと待って」って思った人はセンスがええで。「\( T = \frac{P_g}{\omega_s} \) と \( T = \frac{P_2}{\omega} \) って、違う値にならへんの？」って疑問やろ？

実は、この2つの式は全く同じ値になるんや。これを証明してみよか。

これ、すごくないか？\( (1-s) \) が分子にも分母にもあるから、きれいに消えてしまうんや。

つまり、トルクを求めるには2つの方法があるってことや。

ほな、表現②を使った計算問題にチャレンジしてみよか！

さて、ここで一つ重要な疑問に答えよか。

「2つの式が同じ値になるなら、どっちでもええやん。なんでわざわざ \( T = \frac{P_g}{\omega_s} \) が『基本式』って言われるん？」

ええ疑問や。これには深い理由があるんやで。

まず、\( T = \frac{P_g}{\omega_s} \) の方が「基本」とされる3つの理由を説明するで。

理由①：分母の \( \omega_s \) が定数

同期角速度 \( \omega_s \) は電源の周波数と極数だけで決まる定数や。負荷が変わっても、すべりが変わっても、\( \omega_s \) は変わらへん。一方、\( \omega \) はすべりによって変化する。つまり \( T = \frac{P_g}{\omega_s} \) の方が「トルクは \( P_g \) に比例する」ということを直接表してくれるんや。

理由②：トルク特性の解析に便利

次の第17講で学ぶ「トルク-すべり特性曲線」を描くとき、\( T = \frac{P_g}{\omega_s} \) の形が圧倒的に便利なんや。\( P_g \) をすべり \( s \) の関数として表すと、トルクの式が \( s \) だけの関数になる。これは \( T = \frac{P_2}{\omega} \) では得られへんメリットやで。

理由③：物理的な意味が明確

トルクは「回転磁界と回転子の間で発生する力」や。回転磁界が同期速度で回りながら \( P_g \) という電力を回転子に渡す。この「渡す仕組み」を直接表してるのが \( T = \frac{P_g}{\omega_s} \) なんや。

ほな、2つの表現の使い分けを試す問題や。\( P_g \) が直接与えられてるときの対応力を確認するで。

ここで、電験の問題でよく見る回転速度 N [min⁻¹] を使ったトルクの表現も確認しとこか。

実際の試験問題では、角速度 \( \omega \) [rad/s] ではなく、回転速度 \( N \) [min⁻¹] で条件が与えられることが多いんや。そこで、\( \omega = \frac{2\pi N}{60} \) を代入してみると...

この形も覚えておくと便利やけど、正直なところ \( \omega \) を先に計算してから割る方がミスが少ないで。\( \frac{60}{2\pi} \) を毎回書くのは面倒やし、計算ミスの元になるからな。

さて、ここまでの知識を総合して、実践的な計算問題に挑戦してみよか。電験の問題は「入力から損失を引いて \( P_g \) を求めてからトルクを計算する」というパターンが多いんや。

ここで、トルクの別表現を使った問題を出すで。機械出力と回転速度が与えられたときにトルクを求める問題や。

ここで、電験三種でのトルク問題の出題パターンとよくある間違いをまとめておくで。ここを押さえとくと、本番で間違いにくくなるで！

特にパターン①と②が超頻出や。「入力 → 損失を引く → 二次入力 → トルク」という一連の流れを一発でできるようにしておくのがコツやで。

ほんで、よくある間違いをまとめとくで。これ、ホンマに引っかかる人が多いからな。

特に間違い②は致命的やで。「\( P_g \) と \( \omega_s \)」はペア、「\( P_2 \) と \( \omega \)」もペアや。ペアを崩したらあかん！

ほな、実践的な問題や！電験三種で実際に出そうなレベルの問題を解いてみよか。

よし！ここまでめちゃくちゃ頑張ったな。ここで今日学んだ公式を一覧にまとめておくで。試験前にこのページだけ見直せるようにしておくと便利やで！

ほな、最後の問題いくで！

ラスト問題や！今日学んだことの総仕上げやで。しっかり解いてみ！

お疲れさん！第16講、完走やで！🎉

今日はトルクの基本式を徹底的に学んだな。回転運動の基本 \( P = T\omega \) から始まって、誘導電動機のトルク式 \( T = \frac{P_g}{\omega_s} \) がどうやって導かれるか、なぜこの形が便利なのか、しっかり理解できたかな？

特に大事なのは、以下の3点やで。

第一に、トルクは二次入力 \( P_g \) で決まるということ。\( P_g \) を同期角速度 \( \omega_s \) で割ればトルクが出る。これがメイン公式や。

第二に、\( T = \frac{P_g}{\omega_s} = \frac{P_2}{\omega} \) の二つの式は等価やということ。\( (1-s) \) が約分されるから同じ結果になるんやったな。ただし、ペアを崩したらあかん。

第三に、計算の手順をしっかり身につけること。「同期速度 → 角速度 → トルク」の3ステップ、または「入力 → 損失を引く → 二次入力 → トルク」の流れを確実にできるようにしておこう。