電験三種数学基礎 | 二次関数解説

ようこそ！このページでは、電気系資格試験に出てくる二次関数をわかりやすく解説していきます！関数の基本から応用まで、試験でよく出るポイントをしっかり押さえていきましょう！

y = 1x² + 0x + 0

y = 1(x - 0)² + 0

a の値: 1

-5 5

b の値: 0

-10 10

c の値: 0

-10 10

y = 1(x - 0)² + 0

y = 1x² + 0x + 0

a の値: 1

-5 5

p の値: 0

-5 5

q の値: 0

-10 10

頂点

(-0, 0)

対称軸

x = 0

y切片

(0, 0)

x切片

x = 0

判別式

D = 0

判別式D = 0 は、x切片が1つあることを示しています。つまり、グラフはx軸と一点で交わります。

二次方程式の解の公式

ax² + bx + c = 0 の解: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

二次方程式の解は、グラフとx軸の交点の x 座標と一致します。判別式 D = b² - 4ac の値によって、解の数が決まります。

D > 0 の場合

二次方程式は 2つの実数解を持ちます。

グラフはx軸と2点で交わります。

D = 0 の場合

二次方程式は重解（1つの実数解）を持ちます。

グラフはx軸と1点で接します。

D < 0 の場合

二次方程式は実数解を持ちません。

グラフはx軸と交わりません。

                現在のグラフ: 判別式 D = 0 のため、1つの実数解があります。
            

x値を入力: y = 0

y値を入力: x = 0

プロットされた点

グラフ上をクリックして点をプロットしてください

使い方:

スライダーを動かして二次関数の係数を変更できます
一般形タブと標準形タブで表示を切り替えられます
グラフ上をクリックして点をプロットすると、その点と二次関数の関係が表示されます
x値またはy値を入力して対応する値を計算できます

📝

このページのポイント

ページ上部のインタラクティブグラフツールを使いながら、二次関数の基本と応用を学べます。係数を変えると放物線がどう変化するか、実際に確かめながら理解を深めましょう。

１．二次関数とは

二次関数（にじかんすう）とは、変数 \(x\) の二乗を含む関数で、一般的に \(f(x) = ax^2 + bx + c\) の形で表されます。ここで、\(a\)、\(b\)、\(c\) は定数で、特に \(a \neq 0\) です（\(a = 0\) の場合は一次関数になります）。

二次関数の主な特徴：

グラフの形状：
放物線（ほうぶつせん）と呼ばれる曲線を描く

頂点：
グラフには必ず１つの頂点（最高点または最低点）がある

対称性：
頂点を通る垂直な直線（軸）に関して左右対称

電気工学での利用：
電力損失の計算、共振回路の解析、エネルギー計算など幅広く応用される

２．二次関数の基本形と性質

標準形と一般形

二次関数は主に2つの形式で表されます：

一般形

\( f(x) = ax^2 + bx + c \)

一般形は最も基本的な表現方法です。係数 \(a\)、\(b\)、\(c\) によって放物線の形状が決まります：

\(a\) の符号：放物線の開く向き（正なら上向き、負なら下向き）
\(|a|\) の大きさ：放物線の開き具合（大きいほど狭く、小さいほど広い）
\(b\) と \(c\)：放物線の位置（平行移動に関係）

標準形

\( f(x) = a(x - p)^2 + q \)

標準形は頂点の座標がすぐにわかる形式です：

頂点の座標は \((p, q)\)
\(a\) の符号：放物線の開く向き（正なら上向き、負なら下向き）
\(|a|\) の大きさ：放物線の開き具合

一般形から標準形への変換（平方完成）：

\[
\begin{aligned}
f(x) &= ax^2 + bx + c \\[10pt]
&= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c \\[10pt]
&= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) + c - a\frac{b^2}{4a^2} \\[10pt]
&= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} \\[10pt]
&= a\left(x - \left(-\frac{b}{2a}\right)\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right)
\end{aligned}
\]

つまり、頂点の座標は \(\left(-\frac{b}{2a}, c-\frac{b^2}{4a}\right)\) となります。

グラフの特徴

二次関数のグラフである放物線には、次のような特徴があります：

形状：常に放物線となる

対称性：軸に関して左右対称

\(a\) の影響：

\(a > 0\) のとき：上に凸（∪の形）で最小値を持つ
\(a < 0\) のとき：下に凸（∩の形）で最大値を持つ
\(|a|\) が大きいほど：放物線の開きが狭くなる
\(|a|\) が小さいほど：放物線の開きが広くなる

平行移動：\(b\) と \(c\) の値によってグラフ全体が移動

頂点と軸

二次関数のグラフにおいて、頂点と軸は重要な要素です：

頂点の座標

\[ \begin{aligned} \text{頂点のx座標} &= -\frac{b}{2a} \\[10pt] \text{頂点のy座標} &= f\left(-\frac{b}{2a}\right) = c-\frac{b^2}{4a} \end{aligned} \]

頂点は、\(a > 0\) のとき最小値を取る点、\(a < 0\) のとき最大値を取る点です。

軸の方程式

\( x = -\frac{b}{2a} \)

軸は放物線を左右対称に分ける垂直な直線で、頂点を通ります。

例を見てみましょう：

\(f(x) = 2x^2 - 4x + 5\) の頂点と軸を求めます。

この関数では、\(a = 2\)、\(b = -4\)、\(c = 5\) です。

頂点のx座標：

\[
\begin{aligned}
x &= -\frac{b}{2a} \\[10pt]
&= -\frac{-4}{2 \times 2} \\[10pt]
&= \frac{4}{4} \\[10pt]
&= 1
\end{aligned}
\]

頂点のy座標：

\[
\begin{aligned}
y &= c - \frac{b^2}{4a} \\[10pt]
&= 5 - \frac{(-4)^2}{4 \times 2} \\[10pt]
&= 5 - \frac{16}{8} \\[10pt]
&= 5 - 2 \\[10pt]
&= 3
\end{aligned}
\]

よって頂点の座標は \((1, 3)\) です。

軸の方程式は \(x = 1\) となります。

x軸との交点（解の公式）

二次関数 \(f(x) = ax^2 + bx + c\) のグラフがx軸と交わる点、つまり \(f(x) = 0\) となる点を求めるには、二次方程式 \(ax^2 + bx + c = 0\) を解く必要があります。

判別式

\( D = b^2 - 4ac \)

判別式 \(D\) によって、x軸との交点の数が決まります：

\(D > 0\) のとき：2つの交点がある
\(D = 0\) のとき：1つの交点がある（放物線がx軸に接している）
\(D < 0\) のとき：交点がない（放物線がx軸と交わらない）

解の公式

\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)

この公式を使って、二次方程式の解、つまりx軸との交点のx座標を求めることができます。

例を見てみましょう：

\(f(x) = 2x^2 - 4x - 6\) のx軸との交点を求めます。

この関数では、\(a = 2\)、\(b = -4\)、\(c = -6\) です。

まず判別式を計算します：

\[
\begin{aligned}
D &= b^2 - 4ac \\[10pt]
&= (-4)^2 - 4 \times 2 \times (-6) \\[10pt]
&= 16 + 48 \\[10pt]
&= 64
\end{aligned}
\]

\(D > 0\) なので、2つの交点があります。

解の公式を使ってx座標を求めます：

\[
\begin{aligned}
x &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\[10pt]
&= \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \times 2} \\[10pt]
&= \frac{4 \pm 8}{4} \\[10pt]
x_1 &= \frac{4 + 8}{4} = 3 \\[10pt]
x_2 &= \frac{4 - 8}{4} = -1
\end{aligned}
\]

よってx軸との交点は \((3, 0)\) と \((-1, 0)\) です。

３．二次関数のグラフの変形

平行移動

二次関数のグラフは、式の形を変えることで平行移動させることができます：

水平方向の移動

\( f(x) = a(x - h)^2 + k \)

基本の放物線 \(y = ax^2\) を右に \(h\) だけ平行移動します（\(h\) が負の場合は左に移動）。

垂直方向の移動

\( f(x) = ax^2 + k \)

基本の放物線 \(y = ax^2\) を上に \(k\) だけ平行移動します（\(k\) が負の場合は下に移動）。

複合的な移動

\( f(x) = a(x - h)^2 + k \)

これは標準形そのもので、基本の放物線 \(y = ax^2\) を右に \(h\)、上に \(k\) だけ平行移動したものになります。頂点の座標は \((h, k)\) です。

拡大・縮小

係数 \(a\) の絶対値を変えることで、放物線の開き具合（拡大・縮小）を調整できます：

垂直方向の拡大・縮小

\( f(x) = ax^2 \quad (\, |a| > 1 \text{ または } 0 < |a| < 1 \,) \)

\(|a| > 1\) のとき：放物線は縦方向に引き伸ばされる（より狭くなる）
\(0 < |a| < 1\) のとき：放物線は縦方向に縮められる（より広くなる）

反射

係数 \(a\) の符号を変えることで、放物線を上下反転させることができます：

x軸に関する反射

\( f(x) = -ax^2 \)

元の関数 \(y = ax^2\) のグラフをx軸に関して反射（上下反転）します。

\(a > 0\) の場合：上に凸（∪の形）→ 下に凸（∩の形）
\(a < 0\) の場合：下に凸（∩の形）→ 上に凸（∪の形）

４．二次関数の応用

最大値・最小値問題

二次関数は、頂点で最大値または最小値を取るという性質があるため、最適化問題によく応用されます：

最大値・最小値の求め方

\( \text{最大値または最小値} = f\left(-\frac{b}{2a}\right) = c - \frac{b^2}{4a} \)

\(a > 0\) のとき：\(f\left(-\frac{b}{2a}\right)\) は最小値
\(a < 0\) のとき：\(f\left(-\frac{b}{2a}\right)\) は最大値

例題：面積の最大化

周囲の長さが24mの長方形があります。この長方形の面積が最大になるのは、縦と横がどのような長さのときでしょうか？

解法：

長方形の縦の長さを \(x\) m、横の長さを \(y\) m とします。

周囲の長さが24mなので：\(2x + 2y = 24\)

これを変形して \(y\) について解くと：\(y = 12 - x\)

面積 \(A\) は \(A = xy\) なので：\(A = x(12 - x) = 12x - x^2\)

これは \(f(x) = -x^2 + 12x\) という二次関数になります（\(a = -1\)、\(b = 12\)、\(c = 0\)）。

\(a < 0\) なので、この関数は下に凸で、頂点で最大値を取ります。

頂点のx座標は：

\[
\begin{aligned}
x &= -\frac{b}{2a} \\[10pt]
&= -\frac{12}{2 \times (-1)} \\[10pt]
&= \frac{12}{2} \\[10pt]
&= 6
\end{aligned}
\]

よって \(x = 6\) のとき、\(y = 12 - 6 = 6\) となります。

面積の最大値は：\(A = 6 \times 6 = 36\) m²

周囲の長さが一定の長方形の場合、正方形のときに面積が最大になることが分かりました。

電気工学での応用例

二次関数は電気工学の様々な場面で応用されます：

電力損失の計算

電流 \(I\) が流れる抵抗 \(R\) での電力損失 \(P\) は、\(P = I^2R\) という二次関数で表されます。

例えば、送電線での損失を最小化するための最適な電流値を求める問題などに応用できます。

共振回路の解析

LC共振回路の共振周波数付近でのインピーダンス特性は、しばしば二次関数で近似できます。

共振点での最大/最小値を求める問題に二次関数の知識が役立ちます。

電力効率の最適化

出力電力と入力電力の関係が二次関数で表される場合、最大効率点を求める問題に応用できます。

例題：最適な負荷抵抗

内部抵抗 \(r\) を持つ電源から、負荷抵抗 \(R\) に供給される電力 \(P\) は次の式で与えられます：

\[
P = \frac{E^2R}{(R+r)^2}
\]

ここで \(E\) は電源の電圧です。最大電力が供給される負荷抵抗 \(R\) の値を求めましょう。

この関数の最大値を求めるために、\(R\) について微分して0とおきます（微分は高校数学ですが、考え方を示します）：

\[
\begin{aligned}
\frac{dP}{dR} &= 0 \\[10pt]
\end{aligned}
\]

計算すると、\(R = r\) のとき最大電力となることがわかります。

つまり、負荷抵抗が電源の内部抵抗と等しいとき、最大電力が供給されます（最大電力移送定理）。

５．例題で練習

例題1：二次関数のグラフの特徴を調べる

難易度：★☆☆

\(f(x) = 2x^2 - 8x + 7\) の(1)頂点の座標、(2)軸の方程式、(3)グラフの開く向き、(4)x軸との交点を求めよ。

(1)頂点の座標を求めます。ここで、\(a = 2\)、\(b = -8\)、\(c = 7\) です。

頂点のx座標：

\[
\begin{aligned}
x &= -\frac{b}{2a} \\[10pt]
&= -\frac{-8}{2 \times 2} \\[10pt]
&= \frac{8}{4} \\[10pt]
&= 2
\end{aligned}
\]

頂点のy座標：

\[
\begin{aligned}
y &= f(2) \\
&= 2(2)^2 - 8(2) + 7 \\[10pt]
&= 2 \times 4 - 16 + 7 \\[10pt]
&= 8 - 16 + 7 \\[10pt]
&= -1
\end{aligned}
\]

または、公式を使って：

\[
\begin{aligned}
y &= c - \frac{b^2}{4a} \\[10pt]
&= 7 - \frac{(-8)^2}{4 \times 2} \\[10pt]
&= 7 - \frac{64}{8} \\[10pt]
&= 7 - 8 \\[10pt]
&= -1
\end{aligned}
\]

よって頂点の座標は \((2, -1)\) です。

(2)軸の方程式は \(x = 2\) です。

(3)係数 \(a = 2 > 0\) なので、グラフは上に凸（∪の形）です。

(4)x軸との交点を求めるには、\(f(x) = 0\) を解きます：

\[
\begin{aligned}
2x^2 - 8x + 7 &= 0
\end{aligned}
\]

判別式を計算します：

\[
\begin{aligned}
D &= b^2 - 4ac \\[10pt]
&= (-8)^2 - 4 \times 2 \times 7 \\[10pt]
&= 64 - 56 \\[10pt]
&= 8
\end{aligned}
\]

\(D > 0\) なので、2つの交点があります。解の公式を使って：

\[
\begin{aligned}
x &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\[10pt]
&= \frac{-(-8) \pm \sqrt{8}}{2 \times 2} \\[10pt]
&= \frac{8 \pm 2\sqrt{2}}{4} \\[10pt]
&= 2 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}
\end{aligned}
\]

よってx軸との交点は \(x = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.71

よってx軸との交点は \(x = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.71\) と \(x = 2 - \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 1.29\) です。

よって結果は：

頂点の座標：\((2, -1)\)
軸の方程式：\(x = 2\)
グラフの向き：上に凸（∪の形）
x軸との交点：\(x \approx 1.29\) と \(x \approx 2.71\)

例題2：二次関数を標準形に変形する

難易度：★★☆

\(f(x) = 3x^2 + 12x + 8\) を標準形に変形せよ。

一般形 \(f(x) = ax^2 + bx + c\) から標準形 \(f(x) = a(x - p)^2 + q\) に変形するには、平方完成を行います。

ここで、\(a = 3\)、\(b = 12\)、\(c = 8\) です。

\[
\begin{aligned}
f(x) &= 3x^2 + 12x + 8 \\[10pt]
&= 3(x^2 + 4x) + 8 \\[10pt]
&= 3(x^2 + 4x + 4 - 4) + 8 \\[10pt]
&= 3((x + 2)^2 - 4) + 8 \\[10pt]
&= 3(x + 2)^2 - 12 + 8 \\[10pt]
&= 3(x + 2)^2 - 4 \\[10pt]
&= 3(x - (-2))^2 - 4
\end{aligned}
\]

よって標準形は \(f(x) = 3(x+2)^2 - 4\) です。

この形から頂点の座標が \((-2, -4)\) であることがわかります。

よって結果は：\(f(x) = 3(x+2)^2 - 4\)（頂点の座標は \((-2, -4)\)）

例題3：最大値・最小値問題

難易度：★★☆

\(f(x) = -2x^2 + 8x - 3\) の最大値と、それを与えるxの値を求めよ。

ここで、\(a = -2\)、\(b = 8\)、\(c = -3\) です。

\(a < 0\) なので、この関数は下に凸（∩の形）で、頂点で最大値を取ります。

最大値を与えるxの値（頂点のx座標）：

\[
\begin{aligned}
x &= -\frac{b}{2a} \\[10pt]
&= -\frac{8}{2 \times (-2)} \\[10pt]
&= \frac{8}{-4} \\[10pt]
&= -2 \times \frac{-8}{4} \\[10pt]
&= 2
\end{aligned}
\]

最大値（頂点のy座標）：

\[
\begin{aligned}
f(2) &= -2(2)^2 + 8(2) - 3 \\[10pt]
&= -2 \times 4 + 16 - 3 \\[10pt]
&= -8 + 16 - 3 \\[10pt]
&= 5
\end{aligned}
\]

または、公式を使って：

\[
\begin{aligned}
\text{最大値} &= c - \frac{b^2}{4a} \\[10pt]
&= -3 - \frac{8^2}{4 \times (-2)} \\[10pt]
&= -3 - \frac{64}{-8} \\[10pt]
&= -3 + 8 \\[10pt]
&= 5
\end{aligned}
\]

よって結果は：最大値は \(5\)、それを与えるxの値は \(x = 2\)

例題4：応用問題（電気回路）

難易度：★★★

内部抵抗 \(r = 4\) Ωの電源があり、電圧は \(E = 12\) Vです。この電源に負荷抵抗 \(R\) を接続したとき、負荷に供給される電力 \(P\) は \(P = \frac{E^2R}{(R+r)^2}\) で表されます。最大電力とそのときの負荷抵抗 \(R\) の値を求めよ。

与えられた式に値を代入します：

\[
\begin{aligned}
P &= \frac{E^2R}{(R+r)^2} \\[10pt]
&= \frac{12^2 \times R}{(R+4)^2} \\[10pt]
&= \frac{144R}{(R+4)^2}
\end{aligned}
\]

電力 \(P\) が最大になる \(R\) の値を求めるために、微分して0とおきます（計算過程は省略します）。

最大電力定理により、負荷抵抗が内部抵抗と等しいとき、最大電力が供給されることがわかっています。

よって \(R = r = 4\) Ωのとき、電力が最大になります。

最大電力の値を計算します：

\[
\begin{aligned}
P_{max} &= \frac{144 \times 4}{(4+4)^2} \\[10pt]
&= \frac{576}{64} \\[10pt]
&= 9 \text{ W}
\end{aligned}
\]

よって結果は：最大電力は \(9\) W、そのときの負荷抵抗は \(R = 4\) Ω

💪

これらの例題を通じて、二次関数の扱い方が身につくと思います。特に放物線の特徴を把握して、頂点や交点などを素早く求められるようになることが大切です。電気系の試験では、二次関数を使った最適化問題もよく出題されるので、しっかり練習しておきましょう！

６．自分で解いてみよう！

ほな、学んだことを使って実際に解いてみよか！答えは隠してあるから、自分で計算してから確認してな。答えを見るには「答えを表示」ボタンをクリックするか、答えの部分をタッチしてみてな！

練習問題1：二次関数の基本

基礎

次の二次関数の頂点の座標と軸の方程式を求めよ。

\(f(x) = 3x^2 - 6x + 5\)

解答：

この関数では、\(a = 3\)、\(b = -6\)、\(c = 5\) です。

頂点のx座標：

\[
\begin{aligned}
x &= -\frac{b}{2a} \\[10pt]
&= -\frac{-6}{2 \times 3} \\[10pt]
&= \frac{6}{6} \\[10pt]
&= 1
\end{aligned}
\]

頂点のy座標：

\[
\begin{aligned}
y &= f(1) \\[10pt]
&= 3(1)^2 - 6(1) + 5 \\[10pt]
&= 3 - 6 + 5 \\[10pt]
&= 2
\end{aligned}
\]

結果：

頂点の座標：\((1, 2)\)
軸の方程式：\(x = 1\)

練習問題2：二次関数の標準形

基礎

次の二次関数を標準形に変形せよ。

\(f(x) = 2x^2 - 8x + 11\)

解答：

ここで、\(a = 2\)、\(b = -8\)、\(c = 11\) です。

平方完成します：

\[
\begin{aligned}
f(x) &= 2x^2 - 8x + 11 \\[10pt]
&= 2(x^2 - 4x) + 11 \\[10pt]
&= 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 11 \\[10pt]
&= 2((x - 2)^2 - 4) + 11 \\[10pt]
&= 2(x - 2)^2 - 8 + 11 \\[10pt]
&= 2(x - 2)^2 + 3
\end{aligned}
\]

結果：\(f(x) = 2(x - 2)^2 + 3\)（頂点の座標は \((2, 3)\)）

練習問題3：x軸との交点

標準

次の二次関数のグラフがx軸と交わる点の座標を求めよ。

\(f(x) = x^2 - 6x + 8\)

解答：

x軸との交点は \(f(x) = 0\) を解くことで求められます。

ここで、\(a = 1\)、\(b = -6\)、\(c = 8\) です。

\[
\begin{aligned}
x^2 - 6x + 8 &= 0
\end{aligned}
\]

判別式：

\[
\begin{aligned}
D &= b^2 - 4ac \\[10pt]
&= (-6)^2 - 4 \times 1 \times 8 \\[10pt]
&= 36 - 32 \\[10pt]
&= 4
\end{aligned}
\]

\(D > 0\) なので、2つの実数解があります。

\[
\begin{aligned}
x &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\[10pt]
&= \frac{-(-6) \pm \sqrt{4}}{2 \times 1} \\[10pt]
&= \frac{6 \pm 2}{2} \\[10pt]
x_1 &= \frac{6 + 2}{2} = 4 \\[10pt]
x_2 &= \frac{6 - 2}{2} = 2
\end{aligned}
\]

結果：x軸との交点は \((2, 0)\) と \((4, 0)\)

練習問題4：最大値・最小値

標準

次の二次関数の最小値とそれを与えるxの値を求めよ。

\(f(x) = 2x^2 - 12x + 23\)

解答：

ここで、\(a = 2\)、\(b = -12\)、\(c = 23\) です。

\(a > 0\) なので、この関数は上に凸（∪の形）で、頂点で最小値を取ります。

最小値を与えるxの値（頂点のx座標）：

\[
\begin{aligned}
x &= -\frac{b}{2a} \\[10pt]
&= -\frac{-12}{2 \times 2} \\[10pt]
&= \frac{12}{4} \\[10pt]
&= 3
\end{aligned}
\]

最小値（頂点のy座標）：

\[
\begin{aligned}
f(3) &= 2(3)^2 - 12(3) + 23 \\[10pt]
&= 2 \times 9 - 36 + 23 \\[10pt]
&= 18 - 36 + 23 \\[10pt]
&= 5
\end{aligned}
\]

結果：最小値は \(5\)、それを与えるxの値は \(x = 3\)

練習問題5：応用問題（最適化）

応用

次の問題を解け：

ある導線の抵抗値は長さに比例し、長さ1mあたり2Ωです。全長12mの導線を2本の導線に切り分け、これらを並列接続します。この並列回路の合成抵抗が最小になるのは、どのように切り分けたときですか？また、そのときの合成抵抗の値を求めよ。

解答：

全長12mの導線を長さ \(x\) mと \(12-x\) mの2本に切り分けるとします。

それぞれの抵抗値は：

1本目：\(R_1 = 2x\) Ω
2本目：\(R_2 = 2(12-x) = 24-2x\) Ω

並列接続の合成抵抗 \(R\) は：

\[
\begin{aligned}
\frac{1}{R} &= \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \\[10pt]
&= \frac{1}{2x} + \frac{1}{24-2x} \\[10pt]
&= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{12-x} \right) \\[10pt]
&= \frac{1}{2} \times \frac{12-x+x}{x(12-x)} \\[10pt]
&= \frac{1}{2} \times \frac{12}{x(12-x)} \\[10pt]
R &= \frac{2x(12-x)}{12} \\[10pt]
&= \frac{x(12-x)}{6} \\[10pt]
&= \frac{12x - x^2}{6}
\end{aligned}
\]

合成抵抗 \(R\) が最大になるときを考えます。\(R\) は \(x\) について二次関数の形をしており、係数がマイナスなので、頂点で最大値をとります。

\(R = \frac{-x^2 + 12x}{6}\) より、\(a = -\frac{1}{6}\)、\(b = 2\)、\(c = 0\) です。

最大値を与える \(x\) の値：

\[
\begin{aligned}
x &= -\frac{b}{2a} \\[10pt]
&= -\frac{2}{2 \times (-\frac{1}{6})} \\[10pt]
&= -\frac{2}{-\frac{1}{3}} \\[10pt]
&= 2 \times 3 \\[10pt]
&= 6
\end{aligned}
\]

よって、長さ6mずつに切り分けたときに合成抵抗は最大になります。

そのときの合成抵抗の値：

\[
\begin{aligned}
R &= \frac{12 \times 6 - 6^2}{6} \\[10pt]
&= \frac{72 - 36}{6} \\[10pt]
&= \frac{36}{6} \\[10pt]
&= 6 \text{ Ω}
\end{aligned}
\]

結果：導線を長さ6mずつの2本に切り分けたとき、合成抵抗は最大で6Ωになる

注意：問題文では「最小」と言っていますが、計算結果から分かるように、実際は「最大」になります。導線を並列接続する場合、合成抵抗は各抵抗値が等しいときに最大になります。

電験三種 数学基礎 | 二次関数解説

目次

重要ポイント

二次関数インタラクティブグラフツールの使い方

基本操作

グラフの操作

複数グラフの比較

主要な点の解析

点のプロットと計算

学習活用例

学習ポイント

パラメータの具体的な影響

関連する数式

このページのポイント

１．二次関数とは

２．二次関数の基本形と性質

標準形と一般形

一般形

標準形

グラフの特徴

頂点と軸

頂点の座標

軸の方程式

x軸との交点（解の公式）

判別式

解の公式

３．二次関数のグラフの変形

平行移動

水平方向の移動

垂直方向の移動

複合的な移動

拡大・縮小

垂直方向の拡大・縮小

反射

x軸に関する反射

４．二次関数の応用

最大値・最小値問題

最大値・最小値の求め方

電気工学での応用例

電力損失の計算

共振回路の解析

電力効率の最適化

５．例題で練習

例題1：二次関数のグラフの特徴を調べる

例題2：二次関数を標準形に変形する

例題3：最大値・最小値問題

例題4：応用問題（電気回路）

６．自分で解いてみよう！

練習問題1：二次関数の基本

練習問題2：二次関数の標準形

練習問題3：x軸との交点

練習問題4：最大値・最小値

練習問題5：応用問題（最適化）

電験三種数学基礎 | 二次関数解説