ようこそ！このページでは、電気系資格試験に出てくる二次方程式をわかりやすく解説していきます！二次方程式の解き方は試験でよく出るので、しっかり押さえておきましょう！
このページのポイント
二次方程式の基本から応用まで、電気系資格試験でよく出る計算方法を詳しく解説します。二次方程式を解く力が身につき、回路問題などに応用できるようになります。
１．二次方程式とは
二次方程式（にじほうていしき）とは、未知数の最高次数が2である方程式のことです。一般的な形は \(ax^2 + bx + c = 0\) （\(a \neq 0\)）となります。ここで、\(a\)、\(b\)、\(c\) は定数（係数）で、\(x\) が未知数です。
二次方程式には主に以下のような特徴があります：
グラフ表現：
二次方程式のグラフは放物線となり、\(x\) 軸との交点が方程式の解となる
解の個数：
判別式 \(D = b^2 - 4ac\) により、解の個数や性質（実数解か虚数解か）が決まる
解法の種類：
因数分解、平方完成、解の公式の3つの主要な解法がある
電気工学での応用：
回路解析や共振周波数の計算、電力系統における最適化問題など多くの場面で使われる
２．詳細な計算方法
因数分解による解法
因数分解とは、二次方程式を1次式の積の形に変形して解く方法です。
因数分解の手順：
\(1.\) \(ax^2 + bx + c = 0\) の形にする
\(2.\) 二次式を \((px + q)(rx + s) = 0\) の形に因数分解する
\(3.\) \(px + q = 0\) または \(rx + s = 0\) を解いて、\(x\) の値を求める
例を見てみましょう：
二次方程式：\(x^2 - 5x + 6 = 0\)
まず、\(x^2 - 5x + 6\) を因数分解します
\(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\)
次に、\((x - 2)(x - 3) = 0\) より
\(x - 2 = 0\) または \(x - 3 = 0\)
\(x = 2\) または \(x = 3\)
よって、この二次方程式の解は \(x = 2, 3\) です
解の公式による解法
解の公式とは、\(ax^2 + bx + c = 0\) の形の二次方程式の解を、係数 \(a\)、\(b\)、\(c\) から直接求める公式です。
解の公式は以下の通りです：
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
この \(\pm\) （プラスマイナス）は、2つの解があることを示しています。
例を見てみましょう：
二次方程式：\(2x^2 - 7x + 3 = 0\)
この式で \(a = 2\)、\(b = -7\)、\(c = 3\) です
解の公式に代入します
\(x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \times 2 \times 3}}{2 \times 2}\)
\(x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4}\)
\(x = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{4}\)
\(x = \frac{7 \pm 5}{4}\)
よって、\(x = \frac{7 + 5}{4} = 3\) または \(x = \frac{7 - 5}{4} = \frac{1}{2}\)
この二次方程式の解は \(x = 3, \frac{1}{2}\) です
平方完成による解法
平方完成とは、二次式を「定数＋(一次式)²」の形に変形することで、二次方程式を解く方法です。
平方完成の手順：
\(1.\) 二次の項の係数を1にする
\(2.\) 一次の項の係数の半分を求め、その値を平方する
\(3.\) その値を足して引く（実質的に0を足す）
\(4.\) 整理して \((x + p)^2 = q\) の形にする
\(5.\) 平方根を取って解く
例を見てみましょう：
二次方程式：\(x^2 + 6x + 5 = 0\)
まず、定数項を左辺に移項します
\(x^2 + 6x = -5\)
一次の項の係数の半分は \(\frac{6}{2} = 3\) です
その平方は \(3^2 = 9\) です
左辺に9を足して引く形にします
\(x^2 + 6x + 9 - 9 = -5\)
\((x + 3)^2 - 9 = -5\)
\((x + 3)^2 = 4\)
両辺の平方根を取ります
\(x + 3 = \pm 2\)
\(x = -3 \pm 2\)
よって、\(x = -1\) または \(x = -5\)
この二次方程式の解は \(x = -1, -5\) です
判別式と解の性質
判別式とは
判別式 \(D = b^2 - 4ac\) は二次方程式の解の性質を決定する
判別式の値によって、解の性質が次のように決まります：
\(D > 0\) のとき：異なる2つの実数解を持つ
\(D = 0\) のとき：重解（同じ値の実数解）を持つ
\(D < 0\) のとき：2つの虚数解を持つ
例を見てみましょう：
二次方程式：\(x^2 - 4x + 3 = 0\)
この式で \(a = 1\)、\(b = -4\)、\(c = 3\) です
判別式 \(D = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 16 - 12 = 4\)
\(D > 0\) なので、この方程式は異なる2つの実数解を持ちます
実際に解くと、\(x = 1, 3\) となります
二次方程式の解と係数の関係
二次方程式 \(ax^2 + bx + c = 0\) の解を \(\alpha\) と \(\beta\) とすると、解と係数の間には次の関係がある
解と係数の関係式：
\(\alpha + \beta = -\frac{b}{a}\)（解の和）
\(\alpha \times \beta = \frac{c}{a}\)（解の積）
例を見てみましょう：
二次方程式：\(3x^2 - 5x - 2 = 0\)
この式で \(a = 3\)、\(b = -5\)、\(c = -2\) です
解を \(\alpha\) と \(\beta\) とすると
\(\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{3} = \frac{5}{3}\)
\(\alpha \times \beta = \frac{c}{a} = \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3}\)
実際に解くと、\(x = 2\) または \(x = -\frac{1}{3}\) となり、\(2 + (-\frac{1}{3}) = \frac{5}{3}\) と \(2 \times (-\frac{1}{3}) = -\frac{2}{3}\) が成り立ちます
３．例題で練習
例題1：因数分解で解く
難易度：★☆☆\(x^2 - 7x + 12 = 0\) を解け
因数分解で解きます：
\(x^2 - 7x + 12\) を因数分解します
積が \(c = 12\) で和が \(b = -7\) となる2数を探します
\(-3 \times -4 = 12\) かつ \(-3 + (-4) = -7\) なので、\(-3\) と \(-4\) が条件を満たします
\(x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)\)
\((x - 3)(x - 4) = 0\)
\(x - 3 = 0\) または \(x - 4 = 0\)
\(x = 3\) または \(x = 4\)
よって結果は：\(x = 3, 4\)
例題2：解の公式で解く
難易度：★☆☆\(2x^2 + 5x - 3 = 0\) を解け
解の公式で解きます：
この式で \(a = 2\)、\(b = 5\)、\(c = -3\) です
解の公式 \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) に代入します
\(x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \times 2 \times (-3)}}{2 \times 2}\)
\(x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4}\)
\(x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{4}\)
\(x = \frac{-5 \pm 7}{4}\)
\(x = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{1}{2}\) または \(x = \frac{-5 - 7}{4} = -3\)
よって結果は：\(x = \frac{1}{2}, -3\)
例題3：平方完成で解く
難易度：★★☆\(x^2 - 6x + 8 = 0\) を解け
平方完成で解きます：
\(x^2 - 6x + 8 = 0\)
\(x^2 - 6x = -8\)
一次の項の係数の半分は \(-\frac{6}{2} = -3\) です
その平方は \((-3)^2 = 9\) です
\(x^2 - 6x + 9 - 9 = -8\)
\((x - 3)^2 - 9 = -8\)
\((x - 3)^2 = 1\)
\(x - 3 = \pm 1\)
\(x = 3 \pm 1\)
\(x = 4\) または \(x = 2\)
よって結果は：\(x = 2, 4\)
例題4：判別式を使って解の性質を調べる
難易度：★★☆\(3x^2 + 2x + 1 = 0\) の解の性質を判別式を使って調べよ
判別式を計算します：
この式で \(a = 3\)、\(b = 2\)、\(c = 1\) です
判別式
\[ \begin{aligned} D &= b^2 - 4ac \\ &= 2^2 - 4 \times 3 \times 1 \\ &= 4 - 12 \\ &= -8 \end{aligned} \]
\(D < 0\) なので、この方程式は実数解を持たず、
2つの虚数解を持ちます
解の公式を使って解くと：
\(x = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2 \times 3} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}i}{6}\)
\(x = \frac{-1 \pm \sqrt{2}i}{3}\)
よって結果は：\(x = \frac{-1 + \sqrt{2}i}{3}, \frac{-1 - \sqrt{2}i}{3}\)
例題5：解と係数の関係を使う
難易度：★★★二次方程式 \(x^2 + px + q = 0\) の解が \(x = 2\) と \(x = -3\) のとき、係数 \(p\) と \(q\) を求めよ
解と係数の関係を使います：
解が \(x = 2\) と \(x = -3\) なので、\(\alpha = 2\)、\(\beta = -3\) とします
解の和の公式から：\(\alpha + \beta = -\frac{p}{1}\)
\(2 + (-3) = -p\)
\(-1 = -p\)
\(p = 1\)
解の積の公式から：\(\alpha \times \beta = \frac{q}{1}\)
\(2 \times (-3) = q\)
\(-6 = q\)
よって結果は：\(p = 1, q = -6\)
例題6：電気回路への応用
難易度：★★★RLC直列回路において、角周波数 \(\omega\) での合成インピーダンス \(Z\) は次式で表される：
\(Z = R + j(\omega L - \frac{1}{\omega C})\)
この回路の共振周波数 \(\omega_0\) は虚部がゼロになる周波数であり、次の方程式を解くことで求められる：
\(\omega L - \frac{1}{\omega C} = 0\)
インダクタンス \(L = 0.1\) H、キャパシタンス \(C = 0.001\) F のとき、共振周波数 \(\omega_0\) を求めよ。
共振条件の方程式を解きます：
\(\omega L - \frac{1}{\omega C} = 0\)
\(\omega L = \frac{1}{\omega C}\)
\(\omega^2 L C = 1\)
\(\omega^2 = \frac{1}{L C}\)
\(\omega = \sqrt{\frac{1}{L C}}\)
与えられた値を代入：
\(\omega_0 = \sqrt{\frac{1}{0.1 \times 0.001}}\)
\(\omega_0 = \sqrt{\frac{1}{0.0001}}\)
\(\omega_0 = \sqrt{10000}\)
\(\omega_0 = 100\) rad/s
よって結果は：\(\omega_0 = 100\) rad/s
これらの例題を通じて、二次方程式の解き方が身につくと思います。さらに練習を重ねることで、もっと複雑な問題も解けるようになります！電気系の試験でこの辺りの問題がバッチリ解けるようになったら、合格に一歩近づきます！頑張りましょう！
４．自分で解いてみよう！練習問題
ほな、学んだことを使って実際に解いてみよか！答えは隠してあるから、自分で計算してから確認してな。答えを見るには「答えを表示」ボタンをクリックするか、答えの部分をタッチしてみてな！
練習問題1：平方完成で解く
標準次の二次方程式を解け：
\(x^2 + 4x - 5 = 0\)
練習問題2：因数分解で解く
基礎次の二次方程式を解け：
\(x^2 - x - 6 = 0\)
練習問題3：解の公式で解く
基礎次の二次方程式を解け：
\(3x^2 - 2x - 1 = 0\)
練習問題はどうやった？正解できたかな？